дисперсий называется асимптотической относительной эффективно-
стью и служит количественной мерой сравнения оценок.
В многомерном случае при сравнении оценок векторного пара-
метра описанный выше подход применим, если матрицы ковариаций
оценок пропорциональны друг другу, при этом асимптотическая отно-
сительная эффективность определяется как коэффициент пропорцио-
нальности соответствующих ковариационных матриц. Следовательно,
асимптотическая относительная эффективность
e
(
f
)
оценок наимень-
ших модулей
ˆ
a
по отношению к оценкам наименьших квадратов
˜
a
равна
e
(
f
) = 4
f
2
(0)
σ
2
.
Таким образом, для того чтобы получить то же самое предельное
распределение для оценок наименьших модулей требуется в
e
(
f
)
раз
больше наблюдений, чем для оценок наименьших квадратов.
Если распределение
ε
ij
нормальное, т.е.
f
(
x
) =
1
√
2
πσ
e
−
x
2
2
σ
2
,
то
e
(
f
) =
2
π
, а значит, оценки наименьших квадратов приблизительно
в полтора раза эффективнее оценок наименьших модулей.
Если
ε
ij
имеет двустороннее показательное распределение
f
(
x
) =
1
√
2
σ
e
−
√
2
|
x
|
σ
,
0
≤
γ
≤
1
,
то
e
(
f
) = 2
, т. е. оценки наименьших модулей в два раза эффективнее
оценок наименьших квадратов.
Пусть теперь
ε
ij
имеют распределение Тьюки с плотностью
f
(
x
) = (1
−
γ
)
1
√
2
π
e
−
x
2
2
+
γ
1
√
2
πτ
e
−
x
2
2
τ
2
.
Распределение Тьюки моделирует засорение нормального инноваци-
онного поля
ε
ij
некоторой долей
γ
грубых ошибок, представляющих
собой также нормальные случайные величины, но с большей диспе-
рсией
τ
2
. В этом случае
σ
2
= (1
−
γ
) +
γτ
2
,
4
f
2
(0) =
2
π
1
−
γ
+
γ
τ
.
Поэтому
e
(
f
) =
2
π
(1
−
γ
+
γ/τ
)(1
−
γ
+
γτ
2
)
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
31
