=
√
mn
(ˆ
a
−
a
)
минимизирует функцию
L
(
b
) =
m
X
i
=1
n
X
j
=1
v
ij
.
Установим на множестве пар индексов
(
i, j
)
,
i, j
2
Z
, порядок, полагая
(
p, q
)
<
(
i, j
)
, если
q < j
или
q
=
j
, но
p < i
. Обозначим
A
ij
σ
-алгебру,
порожденную
{
ε
pq
: (
p, q
)
<
(
i, j
)
}
. Учитывая, что
E
[
z
ij
] =
E
[
E
(
z
ij
|
A
ij
)] =
E
[
u
ij
E
(sign(
ε
ij
)
|
A
ij
)] = 0
,
представим
L
(
b
)
в виде
L
(
b
) =
L
1
−
L
2
+
L
3
,
где
L
1
=
m
X
i
=1
n
X
j
=1
E
[
w
ij
|
A
ij
]
, L
2
=
m
X
i
=1
n
X
j
=1
z
ij
, L
3
=
m
X
i
=1
n
X
j
=1
(
w
ij
−
E
[
w
ij
|
A
ij
])
.
Обозначим
e
ij
(
t
) =
E
(
|
ε
ij
−
t
| −
ε
ij
)
, i
= 1
, . . . , m, j
= 1
, . . . , n.
Отметим, что
e
ij
(
t
) =
0
Z
−∞
tf
(
x
)
dx
+
t
Z
0
(
t
−
2
x
)
f
(
x
)
dx
−
∞
Z
t
tf
(
x
)
dx, t
≥
0
,
t
Z
−∞
tf
(
x
)
dx
+
t
Z
0
(2
x
−
t
)
f
(
x
)
dx
−
∞
Z
0
tf
(
x
)
dx, t <
0
.
Так как
e
0
ij
(
t
) = 2
F
(
t
)
−
1
, то с учетом
e
ij
(0) = 0
,
e
0
ij
(0) = 0
,
e
00
ij
(0) = 2
f
(0)
получим
e
ij
(
t
) =
f
(
τ t
)
t
2
, τ
=
τ
ij
(
t
)
2
(0
,
1)
, i
= 1
, . . . , m, j
= 1
, . . . , n.
(8)
Учитывая (8), независимость
ε
ij
от
A
ij
и измеримость
u
ij
от
A
ij
, пред-
ставим
L
1
в виде
L
1
=
L
11
+
L
12
,
где
L
11
=
f
(0)
m
X
i
=1
n
X
j
=1
E
[
u
2
ij
]
, L
12
=
m
X
i
=1
n
X
j
=1
E
[(
f
(
τu
ij
)
−
f
(0))
u
2
ij
]
.
Из закона больших чисел [5, гл.VI, § 3] для стационарных процессов
следует, что при
m, n
→ ∞
по вероятности
L
11
=
f
(0)
1
mn
m
X
i
=1
n
X
j
=1
X
(
p,q
)
2I
X
(
α,β
)
2I
E
[
X
i
−
p,j
−
q
X
i
−
α,j
−
β
b
pq
b
αβ
]
→
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
27
