где
c
0
,
a
1
, . . . , a
m
—
любые положительные коэффициенты
.
Другими
словами
,
фидуциальный подход является корректным при доверитель
-
ном оценивании любой функции вида
(7),
и
,
более того
,
при примене
-
нии данного подхода получаем доверительную границу с постоянным
при всех
~λ
коэффициентом доверия
.
Введем вспомогательные перемен
-
ные
~z
= (
z
1
, . . . , z
m
)
,
где
z
i
= ln
λ
i
,
i
= 1
, . . . , m
.
Как видно из формулы
(7),
в новых переменных
~z
фидуциальный подход является корректным
в указанном смысле для любой линейной функции вида
g
(
~z, ~a
) =
a
0
+
m
X
i
=1
a
i
z
i
,
(
8
)
где
~a
= (
a
0
, a
1
, . . . , a
m
)
—
вектор коэффициентов
,
a
0
= ln
c
0
.
Набор
всех функций вида
(8)
далее будем называть базовым набором
.
Оцениваемая функция
f
(
~λ
)
в новых переменных имеет вид
˜
f
(
~z
) =
f
(
e
z
1
, e
z
2
, . . . , e
z
m
)
,
при этом в силу выпуклости вниз исходной функции
f
(
~λ
)
функция
˜
f
(
~z
)
также выпукла вниз по вектору
~z
.
Тем самым
,
эта функция может быть
представлена через линейные функции базового набора
(8)
в следую
-
щем виде
:
˜
f
(
~z
) = max
~a
∈
A
g
(
~z, ~a
)
,
(
9
)
где
A
—
некоторое подмножество множества возможных значений ко
-
эффициентов
a
0
, a
1
, . . . , a
m
.
Обозначим через
~a
∗
=
~a
∗
(
~z
) = (
a
∗
0
(
~z
)
,
a
∗
1
(
~z
)
, . . . , a
∗
m
(
~z
))
вектор коэффициентов
,
при которых для данного
~z
достигается максимум в выражении
(9),
т
.
е
.
max
~a
∈
A
g
(
~z, ~a
) =
g
(
~z, ~a
∗
(
~z
))
.
(
10
)
Нетрудно видеть
,
что
a
∗
0
(
~z
) = ˜
f
(
~z
)
−
m
X
i
=1
∂
˜
f
(
~z
)
∂z
i
z
i
,
a
∗
i
(
~z
) =
∂
˜
f
(
~z
)
∂z
i
, i
= 1
, . . . , m.
При данном фиксированном векторе коэффициентов
~a
обозначим
через
¯
g
(
~S, ~a
)
верхнюю
γ
-
фидуциальную границу для функции
g
(
~z, ~a
)
из базового набора
.
Величина
¯
g
(
~S, ~a
)
одновременно является верхней
γ
-
доверительной границей для
g
(
~z, ~a
)
,
т
.
е
.
P
©
¯
g
(
~S, ~a
)
≥
g
(
~z, ~a
)
ª
=
γ
26
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
1
