этапе вычисления компонентов тензоров деформации и напряжений
используется конечноэлементная технология
.
Математическая формулировка задачи
.
Рассмотрим в двумер
-
ной области
F
(
с границей
∂F
=
C
1
∪
C
2
)
квазистатическую задачу
термоупругости для обобщенного деформированного состояния при
некотором заданном распределении температурной деформации
ε
T
ij
,
i, j
= 1
,
2
,
и фиксированных кинематических и силовых условиях
нагружения
.
Пусть оси
x
1
и
x
2
декартовой системы координат лежат в плоскости
поперечного сечения тела
.
Для линейно
-
упругого изотропного матери
-
ала с учетом температурной деформации напряжения определяются по
формулам
[2, 3, 6]
σ
11
=
2
G
1
−
2
μ
[(1
−
μ
)
ε
11
+
με
22
−
(1 +
μ
)
ε
T
11
]
,
σ
22
=
2
G
1
−
2
μ
[(1
−
μ
)
ε
22
+
με
11
−
(1 +
μ
)
ε
T
22
]
,
τ
12
= 2
Gε
T
12
,
(1)
где
μ
—
коэффициент Пуассона
,
G
—
модуль сдвига материала
.
Напряжения должны удовлетворять уравнениям равновесия
∂σ
11
∂x
1
+
∂τ
12
∂x
2
+
f
1
= 0
,
∂σ
22
∂x
2
+
∂τ
12
∂x
1
+
f
2
= 0
,
(2)
здесь
f
1
,
f
2
—
проекции объемной силы на оси
x
1
,
x
2
соответственно
.
Используя соотношения Коши
ε
11
=
∂u
1
∂x
1
, ε
22
=
∂u
2
∂x
2
, ε
12
=
1
2
∂u
1
∂x
2
+
∂u
2
∂x
1
(3)
и учитывая формулы
(1),
из уравнений равновесия получим
∂
∂x
j
G
[
u
i,j
+
u
j,i
]+
∂
∂x
i
μG
u
j,j
1
−
2
μ
+
f
i
=
∂
∂x
i
G
(1 +
μ
)
ε
T
ij
1
−
2
μ
, i, j
= 1
,
2
.
(4)
Здесь и далее запятой перед нижним индексом обозначена производ
-
ная по соответствующей координате
,
а по повторяющимся индексам
i, j
проводится суммирование от
1
до
2.
Предположим
,
что на участке границы
C
1
задана с компонентами
p
i
,
i
= 1
,
2
,
распределенная нагрузка
2
μ
u
k,k
−
(1 +
μ
)
ε
T
ij
1
−
2
μ
n
i
+ (
u
i,j
+
u
j,i
)
n
j
=
p
i
G
, i, j, k
= 1
,
2
,
(5)
88
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
