где
n
i
и
n
j
—
компоненты внешней нормали
,
а на участке границы
C
2
области
F
заданы перемещения
(
кинематические граничные условия
)
u
i
=
u
0
i
, i
= 1
,
2
.
(6)
Возможности аналитического решения краевой квазистатической
задачи термоупругости
(4)–(6), (1)
и
(3)
для двумерной области слож
-
ной формы при произвольном температурном поле и зависимости
физико
-
механических свойств от температуры и координат ограни
-
чены
.
Поэтому приходится использовать численные методы решения
,
например
,
основанные на вариационной постановке
.
Решение упругой задачи
.
Функционал для эквивалентной вари
-
ационной формулировки данной задачи применительно к линейно
-
упругому изотропному материалу имеет вид
[1, 2]
J
[
u
] =
Z
F
K
2
[
u
k,k
−
3
ε
T
]
2
+
G
[
u
2
k,k
−
u
k,k
u
i,i
]+
+
G
2
[
u
1
,
2
+
u
2
,
1
]
2
dF
−
Z
C
1
p
i
u
i
dC, i, k
= 1
,
2
.
(7)
Функционал
(7)
на допустимых перемещениях имеет минимальное
значение
.
Для минимизации функционала
(7)
в работе
[2]
был исполь
-
зован метод локальных вариаций
[5, 7].
После того как в результате реализации процесса минимизации
функционала
(7)
определено поле перемещений
,
при использовании
соотношений Коши
(3)
находят компоненты деформации
,
а затем по
закону Гука
(1)
вычисляют компоненты напряжений
.
При вычислении
компонентов тензора деформации можно воспользоваться построени
-
ем обычных разностных соотношений
,
но значительно удобнее ис
-
пользовать конечноэлементную технологию
[4].
Для этого рассмотрим произвольный конечный элемент
(
рис
. 1)
сет
-
ки
,
построенной в области
F
.
Обозначим перемещение по оси
x
1
через
u
=
u
1
,
а перемещение по оси
x
2
через
v
=
u
2
.
Кроме того
,
в каждом
элементе обозначим узловые перемещения через
u
i
,
v
i
,
u
j
,
v
j
,
u
k
,
v
k
в
узлах
i, j, k
соответственно
,
а пары координат узлов через
(
x
i
,
y
i
)
, (
x
j
,
y
j
)
, (
x
k
,
y
k
)
.
Перемещения в направлении осей
x
1
и
x
2
в каждом элементе опре
-
деляются по приближенным выражениям
u
=
N
i
u
i
+
N
j
u
j
+
N
k
u
k
,
(8)
v
=
N
i
v
i
+
N
j
v
j
+
N
k
v
k
,
(9)
где
N
i
,
N
j
,
N
k
—
функции формы конечного элемента
[4].
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
89
