Рис
. 1.
Перемещения узлов
конечноэлементной модели
Формула для определения компонентов
деформации в матричной форме имеет вид
[4]
(
ε
11
ε
22
ε
12
)
т
=
B
(
u
i
v
i
u
j
v
j
u
k
v
k
)
т
;
(10)
здесь
B
—
матрица градиентов
,
получен
-
ная соответствующим дифференцировани
-
ем матрицы функций формы
N
[4].
Таким образом
,
функционал
(7)
можно
приближенно заменить суммой
:
J
=
N
X
e
=1
J
(
e
)
,
(11)
где
J
(
e
)
—
функционал
,
определенный на элементе с номером
e
.
Рассмотрим процесс вычисления узловых перемещений
.
Исходны
-
ми данными для решения являются произвольные начальные значения
перемещений
u
(0)
,
v
(0)
во всех узлах сетки
(
но с учетом кинематических
граничных условий
)
и некоторые начальные значения шагов варьирова
-
ния узловых перемещений
h
u
>
0
,
h
v
>
0
.
С помощью формул
(8)–(10)
вычисляется значение функционала
(11).
В каждом элементе варьируется сначала значение перемещения
u
i
в узле
i
(
рис
. 1)
с шагом
h
u
.
Из трех возможных значений
u
i
,
u
i
+
h
u
и
u
i
−
h
u
выбирается то значение
,
при котором функционал принима
-
ет минимальное значение
.
Подобные вариации проводятся до тех пор
,
пока при замене
u
i
на
u
i
+
h
u
(
или
u
i
−
h
u
)
не произойдет уменьше
-
ние значения функционала
(11).
После этого аналогично варьируется
значение перемещения
u
j
в
j
-
м и затем
u
k
в
k
-
м узлах
.
Аналогично ва
-
рьируются значения перемещений
v
i
,
v
j
,
v
k
с шагом
h
v
.
Процесс варьи
-
рования на данном этапе заканчивается тогда
,
когда разность числен
-
ных значений функционала
(11),
полученных в двух последовательных
приближениях
,
станет меньше заданного положительного достаточно
малого числа
δ
,
т
.
е
.
будет выполняться условие
|
J
(
n
)
−
J
(
n
−
1)
|
< δ.
(12)
Далее шаги
h
u
,
h
v
уменьшаются
,
а процесс варьирования повторяет
-
ся
.
Процесс варьирования завершится окончательно
,
когда численные
значения шагов варьирования
h
u
,
h
v
станут удовлетворять условию
max(
h
u
, h
v
)
< h ,
(13)
где
h
—
заданное достаточно малое число
.
90
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
