Решение поставленной задачи сводится к решению дифференци
-
ального уравнения
A
22
∂
2
u
x
3
∂x
2
1
+ 2
A
12
∂
2
u
x
3
∂x
1
∂x
2
+
A
11
∂
2
u
x
3
∂x
2
2
= 0
с заданными граничными условиями
,
где
u
x
3
(
x
1
, x
2
)
—
функция пере
-
мещений
,
а
A
11
,
A
12
,
A
22
—
модули упругости
.
При введении малого физического параметра
δ
дифференциальное
уравнение и граничные условия представим в полярных координатах
[1]:
T
[
W
] +
δS
[
W
] = 0
,
(2)
W
(
r,
0) = 0
,
∂W
∂r
(
e
2
cos 2
θ
−
δ
sin 2
θ
) +
1
r
∂W
∂θ
(1
−
e
2
−
δ
cos 2
θ
)
θ
=
α
=
τ
0
e
1
,
(3)
где
T
[
∙
] =
∂
2
∂r
2
+
1
r
∂
∂r
+
1
r
2
∂
2
∂θ
2
,
S
[
∙
] =
a
1
(
θ
)
∂
2
∂r
2
−
1
r
∂
∂r
−
1
r
2
∂
2
∂θ
2
−
2
a
2
(
θ
)
∂
∂r
1
r
∂
∂θ
,
u
x
3
(
x
1
, x
2
) =
u
x
3
(
r
cos
θ, r
sin
θ
)
≡
W
(
r, θ
)
,
a
1
(
θ
) = cos 2
θ
−
k
1
sin 2
θ, a
2
(
θ
) = sin 2
θ
+
k
1
cos 2
θ,
δ
=
A
22
−
A
11
A
22
+
A
11
<
1
, e
1
=
A
11
+
A
22
2
, e
2
=
2
A
12
A
11
+
A
22
.
Применяя метод решения однородной задачи
,
общее решение кра
-
евой задачи
(2), (3)
с учетом ограниченности при
r
= 0
определим сле
-
дующим образом
:
W
(
r, θ
) =
τ
0
e
1
r
sin
θ
(1
−
e
2
−
δ
) cos
α
+
e
2
sin
α
cos 2
α
+
+
∞
X
k
=1
r
λ
k
1
−
δa
1
(
θ
)
1
−
δa
1
(
α
)
λ
−
1
2
[
C
k
1
˜
V
k
1
(
θ, λ
k
)
−
C
k
2
˜
V
k
2
(
θ, λ
k
)]
,
(4)
где
˜
V
1
(
θ, λ
)
,
˜
V
2
(
θ, λ
)
—
фундаментальные решения уравнения
,
λ
—
соб
-
ственное значение задачи
.
Теперь можно вычислить касательные напряжения при данном рас
-
творе клина
:
σ
rx
3
=
e
1
∂W
∂r
(
e
2
sin 2
θ
+ 1 +
δ
cos 2
θ
) +
1
r
∂W
∂θ
(
e
2
cos 2
θ
−
δ
sin 2
θ
)
,
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
101
