τ
rx
3
=
−
τ
0
(1
−
n
)
(
a
0
55
)
2
4
λ
√
1
−
n
3
π
(2
−
n
)
ln
r
∙
sin
√
1
−
n
λ
θ
+
2
θ
3
π
cos
√
1
−
n
λ
θ
+
+
τ
0
(
a
0
55
)
2
4
λ
√
1
−
n
3
π
(2
−
n
)
sin
√
1
−
n
λ
θ
+
+
r
n
a
0
55
∞
X
k
=0
B
k
ε
k
r
ε
k
−
1
sin
(2
k
+ 1)
√
1
−
n
3
λ
θ
(7)
при
α
=
3
λπ
(2
k
+ 1)
2
√
1
−
n
.
б
)
Пусть теперь функция неоднородности имеет следующий вид
:
A
44
=
1
a
44
=
a
0
44
e
−
nr
, A
55
=
1
a
55
=
a
0
55
e
−
nr
.
(8)
Для решения этой задачи получено неоднородное дифференциаль
-
ное уравнение
,
однородное уравнение которого переходит в уравнение
Уиттекера
.
Решение этого однородного уравнения выражается через
ряды и имеет вид
[6]
R
0
k
(
r
) =
C
1
k
(
nr
)
μ
k
V
k
(
nr
) +
C
2
k
(
rs
)
−
μ
k
V
−
k
(
nr
)
,
(9)
где
μ
k
=
λν
k
, ν
k
=
π
(2
k
+ 1)
2
α
, λ
2
=
a
0
55
a
0
44
,
V
±
k
(
n, r
) =
M
1
2
±
μ
k
(
nr
)
∙
(
nr
)
1
2
+
μ
k
e
−
nr
2
.
Частное решение
R
k
определяется с помощью уже найденного од
-
нородного решения методом вариации постоянных
.
Таким образом
,
решения задачи можно представить в виде
W
(
r, θ
) =
∞
X
k
=0
h
C
1
k
(
nr
)
μ
k
V
k
(
nr
)+
+
C
2
k
(
nr
)
−
μ
k
V
−
k
(
nr
) +
R
k
i
sin
ν
k
θ
−
A
θ
re
nr
sin
γθ.
(10)
Неизвестные постоянные можно определить для конкретных задач
с граничными условиями на краях рассматриваемой области
(
r
=
r
0
,
r
=
r
1
).
Следовательно
,
таким методом можно решить антиплоские
задачи для клиновидных тел при различных граничных условиях
.
в
)
Решена также антиплоская задача для клина
,
материал которого
обладает слабой неоднородностью
:
1
a
44
=
a
0
44
[1 +
δf
(
r, θ
)]
,
1
a
55
=
a
0
55
[1 +
δf
(
r, θ
)]
,
|
δ
|
<
1
.
(11)
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2005.
№
2
103
