вещества частично поглощаютсяи частично отражаются. Если
r
k
= 0
,
то это условие описывает поступление вещества внутрь области через
ее границу. Коэффициенты
α
k
и
β
k
удовлетворяют условиям
|
α
k
|
+
+
|
β
k
|
= 0
,
α
k
β
k
≥
0
(эти условиясвязаны с теоремой о единствен-
ности решения);
r
k
— некоторые функции, вид которых зависит от
конкретной задачи.
До сих пор рассматривалась задача дляограниченной области
Q
.
Однако некоторые физические ситуации, рассматриваемые при опре-
делении доз, получаемых человеком, работающим с гексафторидом
урана, удобнее описывать, используязадачу длянеограниченной обла-
сти. В этом случае в список дополнительных условий нужно включить
следующее условие регулярности решения: можно указать такие числа
C, δ
≥
0
, что
|
n
k
(
x, t
)
| ≤
Ce
δt
при
k
= 1
, N
,
x
∈
Q
,
t
∈
(
t
0
, t
1
)
.
Перейдем к рассмотрению конкретных ситуаций. Предположим,
что мы хотим изучить процессы, происходящие в пространстве между
полом и потолком комнаты и вдали от боковых стенок. В этом случае
мы можем считать, что
Q
— это плоский слой, задаваемый следующи-
ми условиями:
x
,
y
— произвольные вещественные числа,
0
< z < h
.
Особый интерес с точки зренияфизики процесса и простоты иссле-
дованиякраевой задачи представляет случай, когда можно считать, что
оседание токсичных веществ происходит только под действием диф-
фузии. Поскольку диффузия— медленный процесс, то на временн´oм
промежутке в несколько суток можно с достаточной точностью счи-
тать, что процессы, происходящие вблизи пола, не зависят от про-
цессов, происходящих вблизи потолка. В этом случае можно считать,
что
Q
— это полупространство, задаваемое следующими условиями:
x
,
y
— произвольные вещественные числа,
z >
0
. Мы рассматриваем
временной промежуток
(0
,
+
∞
)
, т. е. полагаем
t
0
= 0
,
t
1
= +
∞
. Кро-
ме того, мы считаем, что величины
α
k
,
β
k
не зависят от переменной
t
.
В этих условиях задача (6), (7) примет вид
∂
∂t
n
k
=
D
k
∆
n
k
+
k
m
=1
a
k,m
n
m
+
F
k
(
x, y, z, t
)
,
k
= 1
, N, x, y
∈
R
, z
∈
(0
,
+
∞
)
, t
∈
(0
,
+
∞
);
(8)
n
k
(
x, y, z,
0) =
n
k,
0
(
x, y, z
)
,
k
= 1
, N, x, y
∈
R
, z
∈
(0
,
+
∞
)
,
−
α
k
(
x, y
)
∂
∂z
n
k
+
β
k
(
x, y
)
n
k
z
=0
=
r
k
(
x, y, t
)
,
k
= 1
, N, x, y
∈
R
, t
∈
(0
,
+
∞
)
,
∃
C
≥
0
∃
δ
≥
0
∀
x
∈
R
∀
y
∈
R
∀
z
∈
(0
,
+
∞
)
∀
t
∈
(0
,
+
∞
)
(
|
n
k
(
x, y, z, t
)
| ≤
Ce
δt
)
, k
= 1
, N.
(9)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2005. № 4
101
