Линеаризуя уравнения
(4)
и подставляя выражения
(2)–(4)
в уравне
-
ния
(1),
получим линеаризованную систему дифференциальных урав
-
нений
ml
2
(3 ¨
ϕ
1
+ 2 ¨
ϕ
2
+ ¨
ϕ
3
) +
a
(2
ϕ
1
−
ϕ
2
) +
+
P l
(
ϕ
3
−
ϕ
2
) +
P l
(
ϕ
3
−
ϕ
1
) = 0
,
ml
2
(2 ¨
ϕ
1
+ 2 ¨
ϕ
2
+ ¨
ϕ
3
) +
a
(2
ϕ
2
−
ϕ
1
−
ϕ
3
) +
P l
(
ϕ
3
−
ϕ
2
) = 0
,
ml
2
( ¨
ϕ
1
+ ¨
ϕ
2
+ ¨
ϕ
3
) +
a
(
ϕ
3
−
ϕ
2
) = 0
.
(5)
Уравнения движения
(5)
приведем к безразмерному виду
[3],
вводя
безразмерное время
τ
=
l
−
1
(
a/m
)
1
/
2
t
и параметр
p
=
P la
−
1
:
3
ϕ
00
1
+ 2
ϕ
00
2
+
ϕ
00
3
+ (2
−
p
)
ϕ
1
−
(
p
+ 1)
ϕ
2
+ 2
pϕ
3
= 0
,
2
ϕ
00
1
+ 2
ϕ
00
2
+
ϕ
00
3
−
ϕ
1
+ (2
−
p
)
ϕ
2
+ (
p
−
1)
ϕ
3
= 0
,
ϕ
00
1
+
ϕ
00
2
+
ϕ
00
3
−
ϕ
2
+
ϕ
3
= 0
,
(6)
где штрихом обозначена производная по
τ
.
Уравнения движения систе
-
мы в первом приближении допускают очевидное решение
ϕ
i
= 0
,
˙
ϕ
i
= 0
, i
= 1
,
2
,
3
,
(7)
соответствующее вертикальному положению маятника
.
Характеристическое уравнение
.
Система
(6) —
система шестого
порядка
,
содержащая вторые производные
.
Представим ее в виде урав
-
нений первого порядка
ϕ
0
1
=
ϕ
4
,
ϕ
0
2
=
ϕ
5
,
ϕ
0
3
=
ϕ
6
,
ϕ
0
4
= (
p
−
3)
ϕ
1
+ 3
ϕ
2
−
(
p
+ 1)
ϕ
3
,
ϕ
0
5
= (4
−
p
)
ϕ
1
+ (
p
−
6)
ϕ
2
+ 3
ϕ
3
,
ϕ
0
6
=
−
ϕ
1
+ (4
−
p
)
ϕ
2
+ (
p
−
3)
ϕ
3
(8)
или в матричной форме
¯
ϕ
0
=
A
·
¯
ϕ,
где
A
=
0
0
0
1 0 0
0
0
0
0 1 0
0
0
0
0 0 1
(
p
−
3)
3
−
(
p
+ 1) 0 0 0
(4
−
p
) (
p
−
6)
3
0 0 0
−
1 (4
−
p
) (
p
−
3) 0 0 0
,
¯
ϕ
=
ϕ
1
ϕ
2
ϕ
3
ϕ
4
ϕ
5
ϕ
6
.
22
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
