Для исследования устойчивости положения равновесия
,
соответ
-
ствующего решению
(7),
рассмотрим характеристическое уравнение
det(
A
−
λE
) = 0
,
которое приводится к виду
λ
6
+
λ
4
(12
−
3
p
) +
λ
2
(3
p
2
−
19
p
+ 20) + 1 = 0
.
Введем переменную
µ
=
λ
2
и получим
µ
3
+
µ
2
(12
−
3
p
) +
µ
(3
p
2
−
19
p
+ 20) + 1 = 0
.
(9)
Для устойчивости положения равновесия корни уравнения
(9)
долж
-
ны быть отрицательными и
,
кроме того
,
действительными
.
В соответ
-
ствии с критерием Рауса
–
Гурвица все решения уравнения
(9)
имеют
отрицательные действительные части в том случае
,
если все миноры
матрицы Гурвица положительны
.
Эти условия имеют вид
12
−
3
p >
0
,
3
p
2
−
19
p
+ 20
>
0
,
(12
−
3
p
)(3
p
2
−
19
p
+ 20)
−
1
>
0
.
(10)
Кроме условий
(10),
должно быть выполнено условие Кардано для
кубического уравнения
[4].
Известно
,
что кубическое уравнение
y
3
+
Ay
2
+
By
+
C
= 0
приводится к виду
x
3
+
p
0
x
+
q
= 0
,
дискриминант которого име
-
ет вид
D
=
−
4
p
3
0
−
27
q
2
.
В рассматриваемом случае
A
= 12
−
3
p
,
B
= 3
p
2
−
19
p
+20
,
C
= 1
.
Соответственно
,
p
0
= 5
p
−
28
,
q
=
p
3
−
7
p
2
+
+ 49
.
Если дискриминант удовлетворяет условию
D >
0
,
(11)
то соответствующее уравнение имеет только действительные корни
.
Следовательно
,
для устойчивости системы
(6)
необходимо и до
-
статочно выполнение условий
(10)
и
(11).
В рассматриваемом случае
имеем
ISSN 1812-3368.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. “
Естественные науки
”. 2004.
№
3
23
