Обозначим через
M
1
(
s
)
, M
2
(
s
)
, M
3
(
s
)
преобразования Меллина для
p
(
A
0
)
, r
(
A
)
, q
(
γ
)
соответственно
.
Из формулы
(2)
следует
,
что преобра
-
зование Меллина для
q
(
γ
)
имеет вид
[2]
M
3
(
s
) =
M
1
(
s
)
M
2
(2
−
s
)
.
(3)
Для огибающей
A
(
t
)
,
имеющей распределение Релея
,
существу
-
ет только первый отрицательный момент
.
Поэтому существует только
первый начальный момент случайной частоты
(
при
s
= 2
),
равный
нулю
,
так как первый момент
A
0
(
t
)
равен нулю
.
Дисперсия случайной
частоты стремится к бесконечности
,
так как второй момент
A
0
(
t
)
конеч
-
ный
,
а второй отрицательный момент
A
(
t
)
стремится к бесконечности
.
Эти результаты совпадают с известными значениями первого момента
и дисперсии случайной частоты
ϕ
0
(
t
)
[1].
Корреляционная функция
γ
(
t
)
также может быть вычислена с по
-
мощью преобразования Меллина
,
поскольку
R
γ
(
τ
) =
m
1
{
γ
(
t
)
γ
(
t
+
τ
)
}
=
m
1
{
A
0
(
t
)
A
0
(
t
+
τ
)
}
m
1
½
1
A
(
t
)
A
(
t
+
τ
)
¾
,
(4)
где
m
1
{·}
–
математическое ожидание случайной величины
.
Сомно
-
житель
m
1
{
A
0
(
t
)
A
0
(
t
+
τ
)
}
в выражении
(4)
является корреляционной
функцией
A
0
(
t
)
,
которая выражается через
R
A
(
τ
)
—
корреляционную
функцию огибающей
A
(
t
)
:
m
1
{
A
0
(
t
)
A
0
(
t
+
τ
)
}
=
R
A
0
(
τ
) =
−
R
00
A
(
τ
)
,
где
R
A
(
τ
) =
σ
2
µ
(1 +
ρ
)
E
µ
2
√
ρ
1 +
ρ
¶¶
;
ρ
=
ρ
(
τ
) =
σ
−
2
m
1
{
A
c
(
t
)
, A
c
(
t
+
τ
)
}
—
нормированная огибающая кор
-
реляционной функции процесса
ξ
(
t
)
;
E
(
·
)
—
полный эллиптический
интеграл второго рода
[1].
Используя известное выражение для двумерных моментов огибаю
-
щей стационарного гауссовского случайного процесса
[1],
найдем со
-
множитель
m
1
{
1
/A
(
t
)
A
(
t
+
τ
)
}
из выражения
(4),
равный смешанному
второму отрицательному моменту
:
m
1
½
1
A
(
t
)
A
(
t
+
τ
)
¾
=
π
2
σ
2 2
F
1
µ
1
2
,
1
2
; 1;
ρ
2
¶
=
σ
−
2
K
(
ρ
)
,
где
K
(
·
)
—
полный эллиптический интеграл первого рода
.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
5
