=
1
σ
3
ω
∗
√
2
π
exp
µ
−
A
2
0
2
σ
2
¶
∞
Z
0
τ
2
exp
µ
−
(
x
2
+
ω
2
∗
)
2
σ
2
ω
2
∗
τ
2
¶
I
0
µ
τA
0
σ
2
¶
dτ.
Вычислив в последнем выражении интеграл
[3],
получим плотность
вероятности
(9).
Введем обозначение для логарифмической производной огибаю
-
щей
:
Ω(
t
) = (ln
V
(
t
))
0
=
V
0
(
t
)
V
(
t
)
.
(10)
Вычисление
R
Ω
(
τ
)
—
корреляционной функции
Ω(
t
)
—
аналогично
вычислению
R
γ
(
τ
)
,
но в данном случае получение замкнутого выраже
-
ния связано с математическими трудностями
.
Ряд известных вероятностных характеристик случайной частоты
суммы гармонического сигнала и квазигармонического шума можно
получить
,
используя выражение
(10).
Поскольку среднее значение
Ω(
t
)
равно нулю
,
то в качестве ее чи
-
словой характеристики рассмотрим среднее значение случайной вели
-
чины
|
Ω(
t
)
|
:
|
Ω(
t
)
|
=
|
V
0
(
t
)
|
V
(
t
)
,
(11)
где
|
V
0
(
t
)
|
—
нормальная односторонняя случайная величина
,
для кото
-
рой существуют начальные моменты всех порядков
.
Известно
[1],
что
для огибающей суммы
V
(
t
)
,
имеющей распределение Райса
(8),
суще
-
ствует только первый отрицательный момент
,
а второй отрицательный
момент не существует
(
стремится к бесконечности
).
Поэтому
,
согласно
свойству преобразования Меллина
,
существует только первый момент
|
Ω(
t
)
|
:
m
1
{|
Ω
|}
=
m
1
{|
V
0
|}
m
−
1
{
V
}
=
ω
∗
exp
µ
−
A
2
0
4
σ
2
¶
I
0
µ
A
2
0
4
σ
2
¶
,
где
m
−
1
{·}
—
первый отрицательный момент
.
Если в сумме
(7)
гар
-
монический сигнал отсутствует
(
A
0
= 0)
,
то
m
1
{|
Ω
|}
=
ω
∗
.
Второй
момент
|
Ω(
t
)
|
в силу того же свойства преобразования Меллина стре
-
мится к бесконечности
.
Таким образом
,
стремление к бесконечности
дисперсий
|
Ω(
t
)
|
и
Ω(
t
)
очевидным образом следует из выражений
(11)
и
(10)
соответственно
,
тогда как
,
например
,
в работе
[1]
для обоснова
-
ния стремления к бесконечности дисперсии случайной частоты
ψ
0
(
t
)
узкополосного случайного процесса
ζ
(
t
)
используются качественные
рассуждения
.
8
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2004.
№
2
