Элементы теории больших деформаций
.
Рассмотрим тензор
-
гра
-
диент деформаций
F
,
преобразующий элементарный радиус
-
вектор
◦
x
из отсчетной конфигурации
◦
K
в актуальную
K
[9]:
d
x
=
F
·
d
◦
x
.
Его пред
-
ставление в базисе отсчетной конфигурации имеет вид
F
=
F
i j
◦
R
i
⊗
◦
R
j
.
Образуем правый тензор деформаций Коши
–
Грина
C
и правый тен
-
зор деформаций Альманзи
Λ
,
компонентами которых в базисах отсчет
-
ной конфигурации являются компоненты тензора деформаций
ε
i j
и
ε
i j
:
C
=
1
2
(
F
т
·
F
−
E
) =
ε
i j
◦
R
i
⊗
◦
R
j
,
ε
i j
=
1
2
(
g
i j
−
◦
g
i j
)
,
(
1
)
Λ
=
1
2
(
E
−
F
−
1
·
F
−
1
т
) =
ε
i j
◦
R
i
⊗
◦
R
j
,
ε
i j
=
1
2
(
◦
g
i j
−
g
i j
)
,
где
g
i j
,
◦
g
i j
—
метрические матрицы
,
а
g
i j
,
◦
g
i j
—
обратные метрические
матрицы в
K
и
◦
K
;
E
—
метрический тензор
.
С помощью полярного разложения
[9]
F
=
O
·
U
введем правый тен
-
зор искажений
U
и тензор поворота
O
,
сопровождающий деформацию
.
Тензор
U
и обратный ему тензор
U
−
1
в базисах отсчетной конфигура
-
ции имеют следующие компоненты
:
U
=
³
3
∑
α
=
1
λ
α
◦
p
i
α
◦
p
j
α
´
◦
R
i
⊗
◦
R
j
,
U
−
1
=
³
3
∑
α
=
1
λ
−
1
α
◦
p
i
α
◦
p
j
α
´
◦
R
i
⊗
◦
R
j
,
(
2
)
где
λ
α
—
собственные значения тензора
U
;
◦
p
i
α
—
компоненты соб
-
ственных векторов в базисе
◦
R
i
,
которые могут быть выражены через
компоненты метрических матриц путем решения характеристических
уравнений
(
U
2
−
λ
2
α
E
)
◦
p
α
=
0
,
(
U
−
2
−
λ
−
2
α
E
)
◦
p
α
=
0;
(
3
)
здесь
U
2
=
g
i j
◦
R
i
⊗
◦
R
j
,
U
−
2
=
g
i j
◦
R
i
⊗
◦
R
j
.
Тензоры
C
,
(
U
−
E
)
,
(
E
−
U
−
1
)
и
Λ
являются энергетическими тен
-
зорами деформаций
(
n
)
C
[9–11],
которые совместно с соответствующими
энергетическими тензорами напряжений
(
n
)
T
образуют мощность напря
-
жений
w
=
∆
P
· ·
d
dt
F
,
∆
=
◦
ρ
ρ
:
w
=
(
n
)
T
· ·
d
dt
(
n
)
C
,
(
4
)
48 ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2
