где
n
=
I
,
II
,
III
,
IV
,
V;
T
—
тензор истинных напряжений Коши
,
T
=
T
i j
R
i
⊗
R
j
;
◦
ρ
и
ρ
—
плотности в отсчетной и в актуальной кон
-
фигурациях соответственно
;
P
—
первый тензор напряжений Пиола
–
Кирхгофа
:
P
=
∆
F
−
1
·
T
=
P
mn
◦
R
m
⊗
◦
R
n
,
P
mn
=
∆
T
mi
F
n
i
.
(
5
)
Энергетические тензоры напряжений имеют те же компоненты
,
что
и тензор напряжений Коши
,
но в других базисах
[9],
в частности
,
(
I
)
T
и
(
V
)
T
имеют следующие компоненты
:
(
I
)
T
=
F
−
1
·
T
·
F
−
1
т
=
T
i j
◦
R
i
⊗
◦
R
j
,
(
V
)
T
=
F
−
1
·
T
·
F
−
1
т
=
T
i j
◦
R
i
⊗
◦
R
j
.
(
6
)
Аддитивные теории пластичности
.
Теории больших пластиче
-
ских деформаций подразделяются на мультипликативные
,
в которых
тензор
F
представляется в виде произведения
F
=
F
e
·
F
p
градиента
упругих деформаций
F
e
и пластических
F
p
,
и аддитивные
,
в которых
тензоры деформаций представляются в виде суммы тензора упругих
и пластических деформаций
.
Рассмотрим далее только аддитивную
теорию
,
полагая
,
что один из энергетических тензоров может быть
представлен в виде суммы
(
n
)
C
=
(
n
)
C
e
+
(
n
)
C
p
,
(
7
)
причем
(
n
)
C
e
=
ε
e
i j
◦
R
i
⊗
◦
R
j
,
(
n
)
C
p
=
ε
p
i j
◦
R
i
⊗
◦
R
j
для
n
=
I
,
V;
здесь
ε
e
i j
и
ε
p
i j
—
компоненты упругих и пластических деформаций
.
Если принимается истинным соотношение
(7)
для конкретного но
-
мера
n
,
то
,
следовательно
,
рассматривается аддитивная модель
A
n
пла
-
стичности
.
Уравнения состояния упруго
-
пластических анизотропных сред
с конечными деформациями
.
Для упруго
-
пластических сред удель
-
ная свободная энергия является функцией от упругих
,
пластических де
-
формаций и температуры
:
ψ
=
ψ
(
(
n
)
C
e
,
(
n
)
C
p
,
θ
),
а энергетический тензор
напряжений
(
n
)
T
связан с тензором упругих деформаций
(
n
)
C
e
соотноше
-
нием
(
n
)
T
=
ρ ∂ψ
∂
(
n
)
C
e
.
(
8
)
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 49
