Осесимметричная задача
.
Рассмотрим частный случай
,
когда
область
◦
V
в
◦
K
и группа симметрии
G
s
имеют ось симметрии
0
x
3
в
лагранжевой системе координат
x
i
,
в качестве которой выберем цилин
-
дрическую систему координат
x
1
=
r
,
x
2
=
ϕ
,
x
3
=
z
.
Сформулируем
задачу
(16), (18)–(20), (22)–(24)
в осесимметричной постановке
.
Запишем такую постановку задачи для модели
A
V
в физических ко
-
ординатах
,
используя компонентную запись дифференциальных опера
-
торов и тензоров
[11]:
◦
ρ ∂
v
r
∂
t
=
∂
P
rr
∂
r
+
P
rr
−
P
ϕϕ
r
+
∂
P
rz
∂
z
,
◦
ρ ∂
v
z
∂
t
=
∂
P
zr
∂
r
+
P
zr
r
+
∂
P
zz
∂
z
,
∂
u
r
∂
t
=
v
r
,
∂
u
z
∂
t
=
v
z
,
∂
∂
t
T
rr
T
ϕϕ
T
zz
T
rz
=
1
∆
M
1111
M
1122
M
1133
0
M
1122
M
1111
M
1133
0
M
1133
M
1133
M
3333
0
0
0
0 2
M
1313
×
×
e
rr
e
ϕϕ
e
zz
e
rz
−
∂
∂
t
ε
p
rr
ε
p
ϕϕ
ε
p
zz
ε
p
rz
,
∆
=
det
F
,
∂
F
rr
∂
t
=
∂
v
r
∂
r
,
∂
F
ϕϕ
∂
t
=
v
r
r
,
∂
F
zz
∂
t
=
∂
v
z
∂
z
,
∂
F
rz
∂
t
=
∂
v
r
∂
z
,
∂
F
zr
∂
t
=
∂
v
z
∂
r
(
25
)
Здесь
T
rr
=
T
11
,
T
ϕϕ
=
T
22
,
T
zz
=
T
33
и
T
rz
—
физические компоненты
тензора истинных напряжений в актуальной конфигурации
;
e
rr
=
e
11
,
e
ϕϕ
=
e
22
,
e
zz
=
e
33
и
e
rz
—
физические компоненты тензора скоростей
деформаций
;
P
rr
=
P
11
,
P
ϕϕ
=
P
22
,
P
zz
=
P
33
,
P
rz
и
P
zr
—
физические ком
-
поненты тензора Пиола
–
Кирхгофа
:
P
rr
=
∆
(
T
rr
F
rr
+
T
rz
F
rz
)
,
P
ϕϕ
=
∆
¡
T
ϕϕ
F
ϕϕ
¢
,
P
zz
=
∆
(
T
rz
F
zr
+
T
zz
F
zz
)
,
P
rz
=
∆
(
T
rr
F
zr
+
T
rz
F
zz
)
,
P
zr
=
∆
(
T
rz
F
rr
+
T
zz
F
rz
)
,
∆
=
F
ϕϕ
(
F
rr
F
zz
−
F
rz
F
zr
)
,
(26)
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Естественные науки
". 2003.
№
2 53
