F
(
t
)
— внешняя детерминированная сила;
ξ
(
t
)
—
δ
-коррелированный
гауссовый случайный процесс, описывающий силу Ланжевена [1].
Предположим, что средние значения случайных процессов
δγ
(
t
)
и
ξ
(
t
)
равны нулю:
h
δγ
(
t
)
i
= 0;
h
ξ
(
t
)
i
= 0
,
а их корреляционные функции составляют
h
δγ
(
t
2
)
δγ
(
t
1
)
i
= 2
αδ
(
t
2
−
t
1
) ;
h
ξ
(
t
2
)
ξ
(
t
1
)
i
= 2
mγ
0
kT δ
(
t
2
−
t
1
) ;
h
δγ
(
t
2
)
ξ
(
t
1
)
i
= 0
.
Здесь
k
— постоянная Больцмана;
T
— абсолютная температура среды.
Представим уравнение (1) в следующем виде:
dV
dt
=
F
m
−
γ
0
V
+
1
m
ξ
(
t
)
−
δγ
(
t
)
V.
В соответствии с работой [11] можно записать уравнение Фоккера —
Планка для функции распределения
f
(
V, t
)
:
∂f
(
V, t
)
∂t
=
−
∂
∂V
F
m
−
γ
0
V f
(
V, t
) +
+
∂
2
∂V
2
γ
0
kT
m
+
αV
2
f
(
V, t
)
.
(2)
Определим стационарное распределение для скорости броуновской
частицы
V
. Уравнение Фоккера – Планка для стационарной функции
распределения
f
(
V
)
при
F
(
t
) =
F
0
= const
принимает вид (см. (2))
d
dV
F
0
m
−
γ
0
V f
(
V
)
−
d
2
dV
2
γ
0
kT
m
+
αV
2
f
(
V
) = 0
.
(3)
После интегрирования уравнение (3) может быть записано так:
d
dv
γ
0
kT
m
+
αV
2
f
(
V
) =
F
0
m
−
γ
0
V f
(
V
)
,
(4)
где константа интегрирования принята равной нулю.
Представим уравнение (4) в виде
A
1
+
A
2
V
2
df
(
V
)
dV
=
−
(
BV
−
F
m
)
f
(
V
)
,
(5)
где
A
1
=
γ
0
kT
m
;
A
2
=
α
;
B
=
γ
0
+ 2
α
;
F
m
=
F
0
m
. Тогда дифференци-
альное уравнение (5) можно записать в форме
df
f
=
−
BV
−
F
m
A
1
+
A
2
V
2
dV.
(6)
28
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 3
