u
1
=
3
X
m
=1
∞
X
n
=1
∞
X
k
=1
β
(
m
)
n
1
U
(
β
(
m
)
, ω
)
V
(
m
)
nk
V
(
β
(
m
)
, ω
)
sin (
n
1
x
1
) cos (
k
1
x
3
)
e
β
(
m
)
x
2
+
iωt
;
u
2
=
3
X
m
=1
∞
X
n
=1
∞
X
k
=1
V
(
m
)
nk
cos (
n
1
x
1
) cos (
k
1
x
3
)
e
β
(
m
)
x
2
+
iωt
;
(26)
u
3
=
3
X
m
=1
∞
X
n
=1
∞
X
k
=1
β
(
m
)
k
1
W
(
β
(
m
)
, ω
)
V
(
m
)
nk
V
(
β
(
m
)
, ω
)
cos (
n
1
x
1
) sin (
k
1
x
3
)
e
β
(
m
)
x
2
+
iωt
;
p
=
3
X
m
=1
∞
X
n
=1
∞
X
k
=1
β
(
m
)
P
(
β
(
m
)
, ω
)
V
(
m
)
nk
V
(
β
(
m
)
, ω
)
cos (
n
1
x
1
) cos (
k
1
x
3
)
e
β
(
m
)
x
2
+
iωt
.
Процесс получения собственных функций для оставшихся семейств
решений и в случае других типов смешанных граничных условий на
лицевых поверхностях, допускающих разделение переменных, полно-
стью аналогичен рассмотренному ранее.
Отметим, что интервал устойчивости нормального напряжения
σ
2
,
в котором скорость поверхностной волны будет действительной при
любом направлении распространения в плоскости
x
1
x
3
, будет отли-
чаться от интервала устойчивости (10) в плоской задаче, соответству-
ющего углу распространению
θ
= 0
(вдоль оси
Ox
1
). Как показано в
работе [15] при исследовании задачи о распространении поверхност-
ных волн в трехмерном полупространстве, скорость поверхностной
волны будет действительной при условии, что
σ
2
находится в ин-
тервале между двумя критическими значениями, зависящими от угла
распространения. Обозначим эти критические значения
σ
−
0
(
θ
)
и
σ
+
0
(
θ
)
,
тогда интервал устойчивости в трехмерной задаче имеет вид
sup
0
≤
θ
≤
90
◦
σ
−
0
(
θ
)
< σ
2
<
inf
0
≤
θ
≤
90
◦
σ
+
0
(
θ
)
.
(27)
Отметим, что нижняя и верхняя грани обычно достигаются при
θ
= 0
◦
или
θ
= 90
◦
.
Таким образом, как и в плоской задаче, на границах интервала
устойчивости можно ожидать значительного роста плотности краевого
спектра. Однако в случае, соответствующем переходу поверхностной
волны в объемную, сдвиговую, картина существенно отличается от
наблюдаемой в плоском случае. Поскольку для каждого угла распро-
странения переход волны Релея в объемную соответствует различным
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
75
