настоящей работе анализ показал, что не все характерные черты вы-
нужденных колебаний, имевшие место в плоской задаче, присутству-
ют в трехмерном случае. Возможность полностью исключить явление
краевого резонанса для предварительно деформированной упругой по-
луполосы, отмеченная в работе [12], не может быть реализована в слу-
чае вынужденных колебаний бруса. В то же время предельный случай,
связанный с неограниченным ростом плотности краевого спектра при
определенном сочетании параметров предварительной деформации,
присутствует и в трехмерном случае.
Основные соотношения.
Рассматривается модель предварительно
деформированного упругого несжимаемого изотропного тела. Из на-
чального состояния под действием значительной статической нагрузки
тело переходит в состояние равновесия, на которое накладываются пе-
ремещения малой амплитуды, являющиеся предметом изучения. Гео-
метрия полуполосы задается условиями
−
h
≤
x
1
≤
h
,
0
≤
x
2
<
∞
, а
в случае бруса
−
h
1
≤
x
1
≤
h
1
,
−
h
3
≤
x
3
≤
h
3
,
0
≤
x
2
<
∞
.
Как известно, ненулевые компоненты тензора упругости в случае
несжимаемого изотропного предварительно деформированного мате-
риала имеют форму
B
iijj
,
B
ijji
и
B
ijij
,
i, j
2 {
1
,
2
,
3
}
[11]. Запи-
шем уравнения движения и линеаризованное условие несжимаемости
в виде
B
jilk
u
k,lj
−
p
,i
=
ρ
¨
u
i
,
u
i,i
= 0
.
(1)
Здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам;
u
i
— перемещения, а
p
— дополнительное давление. Компоненты лине-
аризованного тензора дополнительных напряжений имеют вид
τ
(
j
)
i
=
B
jilk
u
k,l
+ ˉ
p u
j,i
−
p δ
ij
,
(2)
где
ˉ
p
— конечное статическое давление.
Вынужденные колебания полуполосы.
Краевые колебания полу-
бесконечной полосы со смешанными граничными условиями на ли-
цевых поверхностях были подробно изучены в работе [12], поэтому в
настоящей работе приводятся лишь некоторые основные результаты.
Pассматривается плоское напряженно-деформированное состоя-
ние, т.е.
u
3
≡
0
и
u
i
=
u
i
(
x
1
, x
2
)
,
i
= 1
,
2
. Зададим граничные условия
на лицевых поверхностях в виде
u
1
=
τ
(1)
2
= 0
при
x
1
=
±
h,
(3)
ограничивающем продольные перемещения [12]. Обозначим
p
1
=
Λ
n
1
h
,
Λ
n
1
=
nπ, p
2
=
Λ
n
2
h
,
Λ
n
2
=
(2
n
−
1)
π
2
, n
= 1
,
2
,
3
. . . .
(4)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
67
