Существует два семейства решений задачи (1), (3) относительно пере-
мещений
u
i
и дополнительного давления
p
:
(
u
1
, u
2
, p
) = (
U
sin(
p
1
x
1
)
, V
cos(
p
1
x
1
)
, p
1
P
cos(
p
1
x
1
))
e
qx
2
e
iωt
;
(
u
1
, u
2
, p
) = (
U
cos(
p
2
x
1
)
, V
sin(
p
2
x
1
)
, p
2
P
sin(
p
2
x
1
))
e
sx
2
e
iωt
.
(5)
Отметим, что с учетом (4) решения (5) удовлетворяют граничным
условиям (3) автоматически. Приведем основные результаты для пер-
вого семейства решений (5). Анализ результатов в случае второго се-
мейства полностью аналогичен.
Решения представляются в форме линейных комбинаций соответ-
ствующих экспонент, убывающих от края
x
2
= 0
, т.е.
u
1
=
2
X
k
=1
ˆ
q
k
V
(
k
)
e
ˆ
q
k
Λ
n
1
ζ
sin (Λ
n
1
ξ
)
e
iωt
;
u
2
=
2
X
k
=1
V
(
k
)
e
ˆ
q
k
Λ
n
1
ζ
cos (Λ
n
1
ξ
)
e
iωt
;
p
=
2
X
k
=1
p
1
ˆ
q
k
V
(
k
)
H
(ˆ
q
k
,
ˆΩ)
e
ˆ
q
k
Λ
n
1
ζ
cos (Λ
n
1
ξ
)
e
iωt
,
(6)
где
x
1
=
hξ
;
x
2
=
hζ
;
H
(
q,
Ω) = Ω
2
+ (
B
1122
+
B
1221
−
B
1111
) +
q
2
B
2121
;
(7)
V
(
k
)
— произвольные постоянные;
ˆ
q
k
— корни характеристического
уравнения
γ
ˆ
q
4
+
n
ˆΩ
2
−
2
β
o
ˆ
q
2
+
n
α
−
ˆΩ
2
o
= 0
,
(8)
удовлетворяющие условию затухания
<
(ˆ
q
k
)
<
0
;
ˆ
q,
ˆΩ =
(
q,
Ω)
h
Λ
n
1
;
α
=
B
1212
;
β
=
B
1111
+
B
2222
2
−
B
1122
−
B
1221
;
γ
=
B
2121
.
(9)
Известно, что скорость поверхностной волны
c
R
действительна в
интервале устойчивости нормального напряжения
σ
2
γ
− √
γα
−
q
2(
β
√
γα
+
γα
)
< σ
2
< γ
− √
γα
+
q
2(
β
√
γα
+
γα
)
(10)
и определяется из кубического уравнения [13]. Как показано в работе
[12], краевой спектр полуполосы связан со скоростью поверхностной
волны и имеет вид
Ω
(
n
)
=
Λ
n
1
c
R
h
.
(11)
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
