На рис. 2 приведен второй предельный случай, когда
σ
2
=
α
+
+
√
αγ
+
δ
стремится к критическому значению, соответствующему
переходу поверхностной волны в сдвиговую. Видно, как убывает ам-
плитуда колебаний, что соответствует потере локализации в краевой
зоне.
Таким образом, в случае полубесконечной полосы параметры пред-
варительной деформации могут оказывать весьма существенное вли-
яние на явление краевого резонанса. В первом предельном случае не-
ограниченно увеличивается плотность краевого спектра, вследствие
чего краевой резонанс может возникать почти на любой частоте воз-
действия. Во втором предельном случае явление краевого резонанса
не может иметь места, поскольку теряется эффект локализации коле-
баний вблизи края.
Вынужденные колебания бруса.
Рассмотрим вынужденные ко-
лебания полубесконечного предварительно деформированного бруса
прямоугольного сечения. Зададим смешанные граничные условия на
лицевых поверхностях в виде
u
1
= 0
, τ
(1)
2
= 0
, τ
(1)
3
= 0
,
при
x
1
=
±
h
1
;
u
3
= 0
, τ
(3)
2
= 0
, τ
(3)
1
= 0
,
при
x
3
=
±
h
3
.
(17)
Этот тип граничных условий допускает следующую физическую ин-
терпретацию: брус, окруженный жестким покрытием, моделирующий
вставку. При этом возможны лишь продольные перемещения (вдоль
оси
Ox
2
). Отметим, что это не единственный способ задания гранич-
ных условий, позволяющих найти точное решение для перемещений
и дополнительного давления. По аналогии с [13] могут быть рассмо-
трены случаи нерастяжимой мембраны, а также различные сочетания
данных типов граничных условий на лицевых поверхностях бруса.
Процедура решения в этом случае полностью аналогична, поэтому в
данной работе мы ограничимся рассмотрением случая жесткого по-
крытия (17). По аналогии с решением для полуполосы решения могут
быть найдены в форме четырех семейств, описываемых соответству-
ющими тригонометрическими функциями переменных
x
1
, x
3
. Рассмо-
трим первое семейство решений
u
1
=
U
sin (
n
1
x
1
) cos (
k
1
x
3
)
exp
{−
βx
2
+
iωt
}
;
u
2
=
V
cos (
n
1
x
1
) cos (
k
1
x
3
)
exp
{−
βx
2
+
iωt
}
;
u
3
=
W
cos (
n
1
x
1
) sin (
k
1
x
3
)
exp
{−
βx
2
+
iωt
}
;
p
=
n
1
P
cos (
n
1
x
1
) cos (
k
1
x
3
)
exp
{−
βx
2
+
iωt
}
,
удовлетворяющее смешанным граничным условиям (17) при
n
1
=
Λ
n
1
h
1
,
k
1
=
Λ
k
1
h
3
.
(18)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 2
71
