а штрихпунктирные и пунктирные линии соответствуют уточненным
двусторонним оценкам. Две сплошные толстые кривые построены по
формулам
e
λ
=
λ
λ
m
=
2
−
ˉ
λ
+ 3( ˉ
λ
−
1)
C
V
+
p
(2
−
ˉ
λ
+ 3( ˉ
λ
−
1)
C
V
)
2
+ 8 ˉ
λ
4
;
b
λ
=
λ
λ
◦
=
2
−
ˉ
λ
+ 3( ˉ
λ
−
1)
C
V
+
p
(2
−
ˉ
λ
+ 3( ˉ
λ
−
1)
C
V
)
2
+ 8 ˉ
λ
4 ˉ
λ
,
где
λ
— оценка эффективного коэффициента теплопроводности ком-
позита с произвольным расположением шаровых включений, полу-
ченная методом самосогласования [20].
Согласно рис. 4,
а
, зависимости оценок
e
λ
и
b
λ
не пересекают ни
одной из кривых для соответствующих оценок, т.е. лежат внутри лю-
бой из полос, ограниченных каждой парой двусторонних оценок. Наи-
более узкую полосу образуют оценки
e
λ
+
1
и
e
λ
−
1
(
b
λ
+
1
и
b
λ
−
1
), соответству-
ющие представительному элементу структуры композита с располо-
жением шаровых включений в вершинах куба, т.е. в повторяющейся
ячейке ПК-решетки. Более широкая полоса ограничена оценками
e
λ
+
2
и
e
λ
−
2
(
b
λ
+
2
и
b
λ
−
2
), которые соответствуют ОЦК-решетке, а оценки
e
λ
+
3
и
e
λ
−
3
(
b
λ
+
3
и
b
λ
−
3
), соответствующие ГЦК решетке, ограничивают наи-
более широкую полосу. Необходимо отметить, что зависимости всех
перечисленных оценок не выходят за пределы полос с границами,
построенными по формулам (8), причем зависимости оценки
e
λ
+
2
и
особенно оценки
e
λ
+
3
совпадают с зависимостью оценки
e
λ
+
0
, а зависи-
мости оценки
b
λ
+
3
при
C
V
>
3
в масштабе рис. 4,
а
— с зависимостью
оценки
b
λ
+
0
=
e
λ
+
0
/
ˉ
λ
.
Результаты расчетов при
ˉ
λ
= 0
,
01
и
ˉ
λ
= 100
представлены на
рис. 4,
б
(с учетом тех же обозначений, что и на рис. 4,
а
). Располо-
жение кривых совпадает с описанным выше за одним исключением:
график для оценки
b
λ
при
C
V
'
0
,
3
выходит за пределы полосы,
ограниченной оценками
b
λ
+
1
и
b
λ
−
1
.
Заключение.
Полученные формулы для двусторонних оценок
эффективного коэффициента теплопроводности при трех вариантах
представительного элемента матричной структуры композита с шаро-
выми включениями позволили оценить влияние взаимного расположе-
ния этих включений. Расчетным путем установлено, что наименьшая
разность верхней и нижней оценок соответствует варианту располо-
жения включений в вершинах куба. С этим вариантом в приемлемом
согласии находится оценка эффективного коэффициента теплопровод-
ности композита с произвольным расположением включений, полу-
ченная методом самосогласования.
104
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
