температуры тепловая проводимость представительного элемента бу-
дет выше истинной, что и обеспечивает получение верхней оценки
эффективного коэффициента теплопроводности композита.
Нижняя оценка этого коэффициента соответствует предположению
о перпендикулярности линий тока теплового потока той же грани ку-
ба (в плоском представительном элементе предполагают перпенди-
кулярность этих линий той же стороне квадрата). Такое распределе-
ние плотности теплового потока допустимо для максимизируемого
функционала, но отличается от истинного распределения, на котором
этот функционал достигает максимума. Следовательно, вычисленная
по указанному распределению плотности теплового потока тепловая
проводимость представительного элемента будет ниже истинной, что
позволяет получить нижнюю оценку эффективного коэффициента те-
плопроводности композита.
Наряду с матричной структурой композита, армированного шаро-
выми включениями, изотропию по отношению к свойству теплопро-
водности обеспечивают еще два варианта их расположения, которым
соответствуют представительные элементы в виде ячеек объемноцен-
трированной (ОЦК) и гранецентрированной (ГЦК) кубических реше-
ток кристаллов [17] (рис. 1,
б
и
в
). Для анализа влияния взаимного
расположения шаровых включений на эффективный коэффициент те-
плопроводности композита матричной структуры сравним верхние и
нижние оценки коэффициента для трех вариантов конфигурации ку-
бического представительного элемента.
Основные соотношения.
Поскольку все повторяющиеся ячейки
(см. рис. 1) имеют три плоскости симметрии с уравнениями
x
1
=
a/
2
,
x
2
=
a/
2
и
x
3
=
a/
2
, в качестве представительного элемента для
каждой структуры можно рассматривать куб с ребром, равным
a/
2
.
Одну из вершин такого куба поместим в начале прямоугольной систе-
мы координат
Ox
1
x
2
x
3
, приняв безразмерную длину его ребра равной
единице и направив координатные оси вдоль ребер куба, выходящих
из этой вершины. Куб соответствует 1/8 части повторяющейся ячейки
ПК-решетки (см. рис. 1,
а
). В нем будет расположена 1/8 часть шаро-
вого включения с безразмерным радиусом
r
6
1
и центром в точке
O
.
При этом наибольшая возможная объемная концентрация включений
составляет
C
V
=
π/
6
≈
0
,
5236
.
Коэффициент теплопроводности
λ
среды в представительном эле-
менте может принимать значения
λ
m
или
λ
◦
, соответствующие зна-
чениям коэффициентов теплопроводности матрицы или включения.
Таким образом, величина
λ
(
x
1
, x
2
, x
3
)
является функцией координат
точки
M
(
x
1
, x
2
, x
3
)
, принадлежащей в представительном элементе ли-
бо матрице, либо фрагменту включения. Тогда верхнюю оценку эф-
96
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
