элемента равна
Y
3
= 2
r
Z
r
2
ρdρ
π/
4
Z
ϕ
(
r,ρ
)
dϕ
0
1 +
b
1
(
p
r
2
−
ρ
2
+
p
r
2
−
ρ
2
−
2 + 2
√
2
ρ
cos
ϕ
0
)
.
Наконец, для составляющей проводимости, соответствующей под-
области
4
, получим
Y
4
=
r
sin
ϕ
2
−
r
2
ϕ
2
. Квадрат, представленный на
рис. 2, включает в себя по две подобласти
1
и
4
, четыре подобласти
2
и подобласть
3
. Поэтому для искомой оценки при
r
2
(1
/
√
2;
√
3
/
2)
,
равной суммарной относительной тепловой проводимости предста-
вительного элемента, имеем
e
λ
−
2
= 2(
Y
1
+ 2
Y
2
+
Y
4
) +
Y
3
.
Оценки для ГЦК матричной структуры.
Третий вариант пред-
ставительного элемента матричной структуры композита образует 1/8
часть ячейки ГЦК-решетки (см. рис. 1,
в
) в виде куба со стороной,
равной единице. Этот элемент содержит четыре фрагмента шаровых
включений с центрами на концах непараллельных диагоналей парал-
лельных граней куба. Центр одного из фрагментов поместим в начале
координат, а центры остальных фрагментов — в точки с координатами
x
1
= 1
,
x
2
= 1
,
x
3
= 0
;
x
1
= 1
,
x
2
= 0
,
x
3
= 1
и
x
1
= 0
,
x
2
= 1
,
x
3
= 1
. В рассматриваемом случае наибольшее значение безразмерно-
го радиуса равно
1
/
√
2
, а наибольшее возможное значение объемной
концентрации включений —
C
V
=
π/
(3
√
2)
≈
0
,
7405
.
Построение оценок для указанного представительного элемента
также зависит от радиуса
r
. Модифицируя формулы (6) и (7), в случае
r
6
1
/
2
для верхней оценки
λ
+
3
запишем
при
ˉ
λ >
1
1
e
λ
+
3
=
λ
m
λ
+
3
= 1
−
2
r
+
1
b
r
Z
0
dx
3
a
3
−
x
2
3
= 1
−
2
r
+
1
2
b
√
a
3
ln
√
a
3
+
r
√
a
3
−
r
,
где
a
3
= 1
/
(2
b
) +
r
2
,
при
ˉ
λ <
1
1
e
λ
+
3
=1
−
2
r
+2
r
Z
0
dx
3
1 + 2
br
2
+ 2
|
b
|
x
2
3
=1
−
2
r
+
r
2
/
|
b
|
1 + 2
br
2
arctg
p
2
|
b
|
r
√
1 + 2
br
2
.
Если
1
/
2
< r
6
1
/
√
2
, то в представительном элементе выделим
три слоя: два слоя, одинаковых по высоте с промежутками изменения
координаты
x
3
(0; 1
−
r
)
и
(
r
; 1)
, и один промежуточный слой при
x
3
2
(1
−
r
;
r
)
. Нижняя оценка безразмерного термического сопроти-
вления одного из одинаковых слоев имеет вид
100
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 5
