силам упругости пружинных элементов
EF
j
∂u
j
∂x
=
F
пр
j
, x
=
l
j
;
F
пр
j
=
k
(
u
0
(
x
A
)
−
u
j
(
l
j
)) ;
EF
0
∂u
0
∂x
(
x
A
−
0)
−
EF
0
∂u
0
∂x
(
x
A
+ 0) =
−
NF
пр
j
, x
=
x
A
;
(4)
условием равенства перемещений в точке
x
A
центрального стержня
u
0
(
x
A
−
0
) =
u
0
(
x
A
+0
)
и начальными условиями
u
j
(
x,
0) =
u
0
j
(
x
) ;
˙
u
j
(
x,
0) =
u
1
j
(
x
)
,
(5)
где
˙
u
j
(
x,
0) =
∂u
j
∂t
(
x,
0)
.
Закон баланса полной энергии.
Умножим уравнение (2) на
˙
u
j
(
x, t
)
, проинтегрируем по длине каждого стержня и сложим ре-
зультаты, используя граничные условия (3) и условие согласования
(4). В результате получим
d
dt
(
1
2
N
X
j
=0
l
j
Z
0
m
j
(
x
)
∂u
j
∂t
2
dx
+
+
1
2
N
X
j
=0
l
j
Z
0
EF
j
(
x
)
∂u
j
∂x
2
dx
+
1
2
N
X
j
=1
Z
l
j
0
kδ
(
x
−
l
j
) (
u
0
−
u
j
)
2
dx
)
=
=
N
X
j
=0
l
j
Z
0
q
j
(
x, t
) ˙
u
j
(
x, t
)
dx,
(6)
где
δ
(
x
−
l
j
)
— дельта-функция Дирака. В уравнении (6) первое сла-
гаемое в фигурных скобках представляет собой кинетическую энер-
гию
T
(
t
)
системы, второе — потенциальную энергию
Π
F
(
t
)
, обусло-
вленную деформацией стержней, а третье — потенциальную энергию
Π
k
(
t
)
пружинных элементов, которая при наличии упругих деформа-
ций стержней может быть записана в виде
Π
k
(
t
) =
1
2
N
X
j
=1
l
j
Z
0
c
j
(
l
j
)
δ
(
x
−
l
j
)
EF
j
(
l
j
)
∂u
j
∂x
(
l
j
)
2
dx, c
j
=
EF
j
kl
j
.
Уравнение (6) показывает, что изменение полной энергии в едини-
цу времени рассматриваемой механической системы равно мощности
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
55
