(
AU, U
)
H
=
. . .
=
l
−
0
Z
0
EF
0
(
x
)
u
0
2
0
(
x
)
dx
−
EF
0
(
x
)
u
0
0
(
x
)
u
0
(
x
)
l
−
0
0
+
+
l
0
Z
l
+0
EF
0
(
x
)
u
0
2
0
(
x
)
dx
−
EF
0
(
x
)
u
0
0
(
x
)
u
0
(
x
)
l
0
l
+0
+
+
N
X
j
=1
l
i
Z
0
EF
j
(
x
)
u
0
2
j
(
x
)
dx
−
N
X
j
=1
EF
j
(
x
)
u
0
j
(
x
)
u
j
(
x
)
l
j
0
=
=
l
−
0
Z
0
EF
0
(
x
)
u
0
2
0
(
x
)
dx
+
l
0
Z
l
+0
EF
0
(
x
)
u
0
2
0
(
x
)
dx
+
N
X
j
=1
l
j
Z
0
EF
j
(
x
)
u
0
2
j
(
x
)
dx
−
−
N
X
j
=1
k u
0
(
l
)
u
j
(
l
)
−
u
2
j
(
l
) +
u
0
(
l
)
N
X
j
=1
k
(
u
0
(
l
)
−
u
j
(
l
)) =
=
l
−
0
Z
0
EF
0
(
x
)
u
0
2
0
(
x
)
dx
+
l
0
Z
l
+0
EF
0
(
x
)
u
0
2
0
(
x
)
dx
+
+
N
X
j
=1
l
j
Z
0
EF
j
(
x
)
u
0
2
j
(
x
)
dx
+
k
N
X
j
=1
(
u
0
(
l
)
−
u
j
(
l
))
2
≥
c
2
(
U, U
)
H
.
Из приведенных результатов следует, что энергетическая норма опе-
ратора
A
выражается формулой (8).
I
Разрешимость эволюционной задачи.
Сформулируем следую-
щую теорему.
Теорема 1.
Пусть выполнены условия
U
0
2
D A
1
/
2
, U
0
2
H, f
(
t
)
2
C
([0
, t
] ;
H
)
,
тогда задача (7) имеет единственное слабое решение
U
(
t
)
на отрезке
[0
, t
]
, определяемое по формуле
U
(
t
) =
U
0
cos
tA
1
/
2
+
U
1
sin
tA
1
/
2
+
t
Z
0
sin (
t
−
s
)
A
1
/
2
A
−
1
/
2
f
(
s
)
ds.
В отсутствии внешнего возмущения
f
(
t
)
выполняется закон со-
хранения энергии
1
2
dU
dt
2
+
1
2
A
1
/
2
U
2
H
=
1
2
dU
0
dt
2
+
1
2
A
1
/
2
U
0 2
H
.
58
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
