J
Эволюционная задача (7) — это стандартная задача Коши для
дифференциального операторного уравнения гиперболического типа,
для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости [9].
I
Собственные колебания пакета стержней.
Примем, что на
стержневую систему не действует поле внешних сил:
f
(
t
) = 0
.
В этом случае движения стержней будем называть свободными.
Свободные движения стержней, зависящие от времени
t
по закону
exp (
iωt
)
, назовем собственными колебаниями. Приняв в уравнении
(7)
U
(
x, t
) =
U
(
x
)
e
iωt
, получим спектральную задачу для операто-
ра
A
:
AU
−
λEU
= 0
, λ
=
ω
2
.
(9)
Свойства оператора
A
позволяют сформулировать теорему о спек-
тре и свойствах собственных функций [10].
Теорема 2.
Спектральная задача (9) о собственных колебаниях
пакета стержней имеет дискретный положительный спектр
0
< λ
1
< λ
2
< . . . < λ
k
< . . . , λ
k
→ ∞
и систему собственных функций
{
U
k
(
x
)
}
∞
k
=0
, полную и ортогональную
в пространствах
H
и
H
A
, при этом выполнены следующие формулы
ортогональности:
(
U
k
, U
s
)
H
=
N
X
j
=0
l
j
Z
0
m
(
x
)
j
u
kj
u
sj
dx
=
δ
ks
;
(
U
k
, U
s
)
H
A
=
N
X
j
=0
l
j
Z
0
EF
j
(
x
)
du
kj
dx
du
sj
dx
dx
+
+
N
X
j
=1
k
(
u
k
0
−
u
kj
) (
u
s
0
−
u
sj
) =
λ
k
δ
ks
.
Исследование спектральной задачи в случае однородного па-
кета стержней.
Представив функцию перемещений
u
j
(
x, t
)
в виде
u
j
(
x, t
) =
u
j
(
x
)
e
iωt
, после разделения переменных получим спек-
тральные задачи для каждого стержня:
EF
j
m
j
d
2
u
j
dx
2
+
λu
j
= 0
, j
= 0
,
1
,
2
, . . . , N,
(10)
которые запишем в матричной форме
˜
A
d
2
U
dx
2
+
λU
= 0
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
59
