внешнего воздействия. При отсутствии внешнего возмущения
q
(
x, t
)
получаем закон сохранения полной энергии:
T
(
t
) +
Π
F
(
t
) +
Π
k
(
t
) =
T
(0) +
Π
F
(0) +
Π
k
(0)
.
Операторная постановка.
Закон баланса энергии показывает, что
для любого момента времени
t
функции
u
j
(
x, t
)
можно рассматривать
как элементы гильбертова пространства
L
2
j
([0
, l
j
]
;
m
j
(
x
))
, определен-
ные на длине
l
i
скалярным произведением
(
u
s
,
ˉ
v
k
)
j
=
l
j
Z
0
m
j
(
x
)
u
s
ˉ
v
k
dx
и соответствующей нормой.
Введем гильбертово пространство
H
, равное ортогональной сумме
L
2
j
,
H
=
L
20
L
21
. . . L
2
N
, вектор-функцию
U
= (
u
0
, u
1
, . . . , u
N
)
т
и оператор
A
, действующий в пространстве
H
согласно соотношению
AU
= diag (
A
00
u
0
, A
11
u
1
, . . . , A
NN
u
N
)
.
Здесь
A
jj
=
−
1
m
j
(
x
)
∂
∂x
EF
j
∂
∂x
— операторы, определенные на
множестве
D
(
A
jj
)
H
функций, удовлетворяющих условиям (3)
и (4).
Исходная задача (1)–(5) вместе с начальными условиями запишется
в виде
d
2
U
dt
+
AU
=
f
(
t
)
, U
(0) =
U
0
,
˙
U
(0) =
U
1
,
(7)
где
f
(
t
) = (
q
0
(
t
)
, q
1
(
t
)
, . . . , q
N
(
t
))
т
.
Лемма.
1. Если выполнены первые два условия (1), то оператор
A
в эволюционной задаче (7) — неограниченный, самосопряженный,
положительно определенный в пространстве
H
оператор
AU,
ˉ
V
H
=
U, A
ˉ
V
H
,
(
AU, U
)
H
≥
c
2
(
U, U
)
H
.
2. Оператор
A
порождает энергетическое пространство
H
A
с
нормой, равной удвоенному значению потенциальной энергии колеба-
ний пакета стержней
k
U
k
2
A
=
N
X
j
=0
l
j
Z
0
EF
j
∂u
j
∂x
2
dx
+
k
N
X
j
=1
(
u
0
−
u
j
)
2
= 2
Π >
0
.
(8)
J
Оператор
A
неограничен в пространстве
H
, поскольку неогра-
ничен каждый диагональный элемент
A
jj
. Самосопряженность и по-
ложительная определенность оператора
A
проверяются непосредст-
венно:
56
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 6
