ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
УДК 519.21
ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕСКОКА ГРАНИЦЫ ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО
БЛУЖДАНИЯ В ПОЛУПЛОСКОСТИ И ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС
С ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
А.В. Калинкин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
e-mail:
kalinkin@bmstu.ruРассмотрено случайное блуждание на целочисленной решетке полуплоскости.
Найдены вероятности остановки случайного блуждания на границе полуплос-
кости и вероятности перескока этой границы. Для аналитического решения за-
дачи определен вспомогательный марковский процесс с непрерывным временем
на целочисленной решетке четверти плоскости, “вложенная цепь Маркова”
для которого совпадает со случайным блужданием. Применен предложенный
автором метод экспоненциальной производящей функции для решения стацио-
нарной первой (обратной) системы дифференциальных уравнений Колмогорова
для марковского ветвящегося процесса с взаимодействием. Явное представле-
ние для вероятностей остановки в точке границы-полосы получено в пред-
положении, что скачки случайного блуждания направлены в полуплоскость.
Это представление обобщает известный частный случай сведения границы
полуплоскости в линию, перескок через границу отсутствует.
Ключевые слова
:
вероятность остановки случайного блуждания, марковский
процесс с дискретными состояниями, экспоненциальная производящая функция,
обыкновенное линейное дифференциальное уравнение бесконечного порядка с
параметром, точное решение.
PROBABILITY OF JUMP ACROSS THE BORDER FOR RANDOM WALK
IN A HALF-PLANE AND A BRANCHING PROCESS WITH INTERACTION
A.V. Kalinkin
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
e-mail:
kalinkin@bmstu.ruRandom walk on the integer-valued lattice of a half-plane is considered. Probability of
a random walk stop at the border as well as probability of jump across the border, are
studied. In order to solve the problem analytically, an auxiliary Markov process with
continuous time is defined on the integer-valued lattice of a quadrant. “Embedded
Markov chain” for this process coincides with the random walk. The method of
exponential generating function is proposed by the author to solve a stationary first
(backward) system of Kolmogorov differential equations for the Markov branching
process with interaction. Explicit representation for the probability of stopping at
the border-strip is obtained under the assumption that the random walk jumps are
directed to the half-plane. This representation is a generalization of the case when
boundary is a line, and there is no jump across the border.
Keywords
:
absorption probability of a random walk, Markov process with discrete
states, exponential generating function, ordinary linear differential equation of infinite
order with the parameter, exact solution.
38
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2