12 / 15
теореме о неявной функции для уравнения (24) в некоторой окрест-
ности точки
u
= 1
есть единственное решение
s
=
ϕ
l
(
u
)
, для кото-
рого
q
l
=
ϕ
l
(1)
, и это аналитическая функция в окрестности точки
u
= 1
. Если
q
l
– корень кратности
m
уравнения (25), то для уравне-
ния (24) в некоторой окрестности точки
u
= 1
существует
m
решений
s
=
ϕ
1
l
(
u
)
, . . . , s
=
ϕ
m
l
(
u
)
, для которых
q
l
=
ϕ
1
l
(1)
, . . . , q
l
=
ϕ
m
l
(1)
, и
u
= 1
точка ветвления порядка
m
для функции
ϕ
(
u
)
[12].
Следовательно, в окрестности точки
u
= 1
определены
k
−
1
ветвь
многозначной функции
ϕ
(
u
)
, определяемой равенством
h
(
u, ϕ
(
u
))
−
−
ϕ
k
(
u
) = 0
:
ϕ
1
(
u
)
, . . . , ϕ
k
−
1
(
u
)
, соответствующие значениям
q
1
, . . .
. . . , q
k
−
1
. Вводим ветвь
ϕ
0
(
u
)
, соответствующую корню
q
0
. Если
q
0
— корень кратности 2, то берем решение уравнения (24) такое, что
|
ϕ
0
(
u
)
|
6
q
0
при
|
u
|
6
1
. Существование указанной ветви
ϕ
0
(
u
)
, а также
другие свойства функций
ϕ
0
(
u
)
, . . . , ϕ
k
−
1
(
u
)
следуют из доказатель-
ства теоремы 1 (см. замечание 1).
Теорема 1.
Пусть функция
h
(
u, s
)
аналитическая при всех
u, s,
выполнены условия
(8)
,
(9)
. Экспоненциальная производящая функция
вероятностей остановки равна
,
|
u
|
<
1
,
g
β
(
z, u
) =
k
−
1
X
l
=0
C
β
l
(
u
)
e
zϕ
l
(
u
)
,
(26)
где функции
C
β
l
(
u
)
,
l
= 1
, . . . , l,
определяются граничными условия-
ми
(22).
J
Из полученного в лемме 4 представления (16) следует
g
β
(
z, u
) =
∞
X
α
=0
z
α
α
!
ϕ
αβ
(
u
) =
k
−
1
X
l
=0
C
β
l
(
u
)
e
zλ
l
(
u
)
.
(27)
Подставляя выражение (27) в уравнение (21), получаем равенство
k
−
1
X
l
=0
C
β
l
(
u
)
e
zλ
l
(
u
)
(
h
(
u, λ
l
(
u
))
−
λ
k
l
(
u
)) = 0
.
(28)
Найдется точка
ρ
,
0
< ρ <
1
, в некоторой окрестности кото-
рой функции
λ
0
(
u
)
, . . . , λ
k
−
1
(
u
)
не имеют равных значений; следо-
вательно, при значениях
u
, принадлежащих окрестности, функции
e
zλ
0
(
u
)
, . . . , e
zλ
k
−
1
(
u
)
линейно независимы. Учитывая, что каждая функ-
ция
C
β
0
(
u
)
, . . . , C
β
k
−
1
(
u
)
не равна тождественно нулю, из (28) имеем
h
(
u, λ
l
(
u
))
−
λ
k
l
(
u
)
≡
0
, l
= 0
, . . . , k
−
1
,
(29)
в некоторой окрестности около точки
ρ
. В соответствии с принци-
пом консерватизма функциональных уравнений, аналитическое про-
должение функции
λ
l
(
u
)
за границу окрестности также удовлетворя-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2
49