8 / 15
Покажем, что выражение (16) также является решением урав-
нения (3) в точке
u
0
,
|
u
0
|
<
1
, такой, что некоторые из значений
λ
0
(
u
0
)
, . . . , λ
k
−
1
(
u
0
)
совпадают. Достаточно показать, что при
u
→
u
0
существует конечный предел выражения (16); в силу непрерывности
коэффициентов уравнения (3) эти пределы при
α
= 0
,
1
, . . .
удовле-
творяют уравнению (3).
Действительно, система линейных уравнений (17) решается по
правилу Крамера и для нахождения функций
C
β
0
(
u
)
, . . . , C
β
k
−
1
(
u
)
вы-
числяются определители типа определителя Вандермонда. Подставляя
полученные выражения в (16), после преобразований получаем
ϕ
αβ
(
u
) = (
−
1)
k
−
β
+1
X
i
0
+
...
+
i
k
−
1
=
α
−
β
i
0
,...,i
k
−
1
>
0
0
λ
i
0
0
(
u
)
. . . λ
i
k
−
1
k
−
1
(
u
)
,
(18)
где знак «
0
» означает, что число показателей степеней
i
0
, . . . , i
k
−
1
, обра-
щающихся в нуль, не больше
β
. Рассматриваемая точка
u
0
— точка
ветвления функции
λ
(
u
)
. При
u
→
u
0
существуют согласно неравен-
ству (10) и, например, представлению (11) конечные пределы функций
λ
l
(
u
)
,
l
= 0
, . . . , k
−
1
, и следовательно, конечный предел выражения
(18).
I
Для нахождения функций
λ
0
(
u
)
, . . . , λ
k
−
1
(
u
)
определяется вспомо-
гательный случайный процесс.
Марковский ветвящийся процесс
(
ξ
0
t
, ξ
t
)
и уравнение для экс-
поненциальной производящей функции вероятностей остановки.
Рассмотрим однородный во времени марковский процесс
(
ξ
0
t
, ξ
t
)
на
фазовом пространстве
N
2
с непрерывным временем
t
,
t
∈
[0
,
∞
)
, и пе-
реходными вероятностями
P
(
α
0
,α
)
(
β
0
,β
)
(
t
) = P
{
(
ξ
0
t
, ξ
t
) = (
β
0
, β
)
|
(
ξ
0
0
, ξ
0
) =
= (
α
0
, α
)
}
. Пусть при
Δ
t
→
0
переходные вероятности имеют вид
(
λ >
0
)
P
(
α
0
,α
)
(
α
0
,α
)
(Δ
t
) = 1
−
α
(
α
−
1)
. . .
(
α
−
k
+ 1)
λ
Δ
t
+
o
(Δ
t
);
P
(
α
0
,α
)
(
β
0
,β
)
(Δ
t
) =
p
β
0
−
α
0
,β
−
α
+
k
α
(
α
−
1)
. . .
(
α
−
k
+ 1)
λ
Δ
t
+
o
(Δ
t
)
,
если
β
0
6
=
α
0
или
β
6
=
α
−
k
. Введем производящие и экспоненциаль-
ные производящие функции переходных вероятностей,
|
u
|
6
1
,
|
s
|
6
1
,
F
(
α
0
,α
)
(
t
;
u, s
) =
∞
X
β
0
,β
=0
P
(
α
0
,α
)
(
β
0
,β
)
(
t
)
u
β
0
s
β
,
(
α
0
, α
)
∈
N
2
;
G
(
β
0
,β
)
(
t
;
z
0
, z
) =
∞
X
α
0
,α
=0
z
α
0
0
z
α
α
0
!
α
!
P
(
α
0
,α
)
(
β
0
,β
)
(
t
)
,
(
β
0
, β
)
∈
N
2
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2
45