5 / 15
J
Рассмотрим уравнение
1 =
a
k
−
1
s
−
1
+
a
k
−
2
s
−
2
+
. . .
+
a
0
s
−
k
. Функ-
ция
a
k
−
1
s
−
1
+
a
k
−
2
s
−
2
+
. . .
+
a
0
s
−
k
имеет отрицательную производную
на
(0;
∞
)
и строго убывает от
∞
до
0
; следовательно, функция прини-
мает значение
1
только в одной точке
λ
0
,
λ
0
>
0
. Запишем
s
k
6
a
k
−
1
s
k
−
1
+
. . .
+
a
0
при
0
6
s
6
λ
0
;
s
k
> a
k
−
1
s
k
−
1
+
. . .
+
a
0
при
s > λ
0
.
(6)
Пусть
λ
l
,
l
= 1
, . . . , k
−
1
, — корень уравнения, тогда
|
λ
l
|
k
=
|
a
k
−
1
λ
k
−
1
l
+
a
k
−
2
λ
k
−
2
l
+
. . .
+
a
0
|
6
6
a
k
−
1
|
λ
l
|
k
−
1
+
a
k
−
2
|
λ
l
|
k
−
2
+
. . .
+
a
0
,
и согласно неравенству (6) имеем
|
λ
l
|
6
λ
0
.
I
В уравнении (3) функции
ϕ
k,k
−
1
(
u
)
, . . . , ϕ
k
0
(
u
)
будем полагать из-
вестными, таким образом, уравнение (3) при фиксированном пара-
метре
u
можно рассматривать как линейное однородное разностное
уравнение порядка
β
. Такие уравнения решаются стандартным ме-
тодом характеристического уравнения [10]. Для построения решения
составляется характеристическое уравнение
f
(
u, λ
) =
−
λ
k
+
ϕ
k,k
−
1
(
u
)
λ
k
−
1
+
. . .
+
ϕ
k
0
(
u
) = 0
(7)
и исследуются его корни, — в рассматриваемом случае корни зависят
от параметра
u
. При фиксированном параметре
u
,
|
u
|
6
1
, функциональ-
ное уравнение (7) имеет
k
решений (каждый корень считается столько
раз, какова его кратность), которые обозначим как
λ
0
(
u
)
, . . . , λ
k
−
1
(
u
)
.
Согласно теоремам о неявных функциях [11, 12], а также с учетом
аналитичности функций
ϕ
k,k
−
1
(
u
)
, . . . , ϕ
k
0
(
u
)
в области
|
u
|
<
1
, ком-
плекснозначная функция
λ
(
u
)
, определяемая уравнением (7), имеет
конечное число особых точек в области
|
u
|
<
1
. Эти точки являются
точками ветвления конечного порядка.
Для простоты формулировки результатов предполагается выполне-
ние условий
p
0
=
∞
X
γ
0
=0
p
γ
0
0
>
0
,
Н.О.Д.
(
k, γ >
0 :
p
γ
=
∞
X
γ
0
=0
p
γ
0
γ
>
0) = 1
.
(8)
Если
p
0
= 0
, то нахождение вероятностей остановки
q
(0
,α
)
(
n,β
)
сводит-
ся к рассмотрению случайного блуждания с параметром
k
−
1
, если
Н.О.Д
(
k, γ >
0 :
p
γ
=
∞
X
γ
0
=0
p
γ
0
γ
>
0) =
l,
то — случайного блуждания
с параметром
k/l
.
42
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2