3 / 15
роятностей (1) при общих предположениях о производящей функции
h
(
u, s
)
.
При исследовании случайных блужданий часто используется схема
суммирования независимых случайных величин (см. [1] и др.). Мето-
ды решения задач о вероятностях остановки случайных блужданий в
точках границы разнообразны — применяются аналитические подхо-
ды, в частности, разностные уравнения [1], операционное исчисление
[2], алгебраические структуры [3] и др. В настояшей работе использо-
вана введенная в работе [4] экспоненциальная производящая функция
для вероятностных распределений, зависящих от неотрицательного
целочисленного параметра. Такой способ вычисления вероятностей
остановки был применен в работе [5] для случайного блуждания в
четверти плоскости
N
2
, в работе [6] — для трехмерного блуждания в
плоскости
N
3
, в работе [7] — для неоднородного случайного блужда-
ния в плоскости
N
2
.
В настоящей статье в лемме 1 из стандартного для теории случай-
ных блужданий линейного уравнения в конечных разностях выведе-
но соотношение для производящих функций вероятностей остановки.
Определяемая соответствующим характеристическим уравнением не-
явно задаваемая комплекснозначная фунция
λ
(
u
)
исследована в лем-
ме 3. В лемме 4 для производящих функций вероятностей остановки
приведено выражение в виде суммы некоторых произведений ветвей
λ
0
(
u
)
, . . . , λ
k
−
1
(
u
)
указанной многозначной функции.
Определен марковский ветвящийся процесс с взаимодействием,
“вложенная цепь Маркова” для которого совпадает с рассматриваемым
случайным блужданием. В лемме 5 показано, что экспоненциальная
(двойная) производящая функция вероятностей остановки удовлетво-
ряет обыкновенному линейному дифференциальному уравнению бес-
конечного порядка с коэффициентами, зависящими от параметра —
стационарному первому (обратному) уравнению Колмогорова. Полу-
ченное в теореме 1 выражение для вероятностей остановки следует из
равенства
h
(
u, λ
(
u
))
−
λ
k
(
u
) = 0
. Теорема 1 анонсирована в работе [8].
Обобщен случай
k
= 1
[9], когда перескока через границу по-
луплоскости нет. В работе [9] использовано нелинейное
свойство ве-
твления
переходных вероятностей, позволяющее свести исследование
к схеме суммирования независимых случайных величин.
Разностное уравнение для производящих функций вероят-
ностей остановки.
Учитывая равенство
q
(
α
0
,α
)
(
n,β
)
=
q
(0
,α
)
(
n
−
α
0
,β
)
, далее
рассмотрим вероятности
q
(0
,α
)
(
n,β
)
. Введем производящие функции,
|
u
|
6
1
,
ϕ
αβ
(
u
) =
∞
X
n
=0
q
(0
,α
)
(
n,β
)
u
n
, α
∈
N, β
= 0
, . . . , k
−
1
.
(2)
40
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2