13 / 15
ют уравнению (29). Таким образом, функции
λ
0
(
u
)
, . . . , λ
k
−
1
(
u
)
явля-
ются решениями уравнения (24), причем полагаем
lim
u
↑
1
λ
l
(
u
) =
q
l
,
l
= 0
, . . . , k
−
1
.
Функции
λ
0
(
u
)
, . . . , λ
k
−
1
(
u
)
совпадают с функциями
ϕ
0
(
u
)
, . . .
. . . , ϕ
k
−
1
(
u
)
— решениями уравнения (24), формула (27) — с доказыва-
емой формулой (26), а функции
C
β
l
(
u
)
,
l
= 0
, . . . , k
−
1
, определяемые
начальными условиями (4), — с функциями
C
β
l
(
u
)
,
l
= 0
, . . . , k
−
1
,
определяемыми граничными условиями (22).
I
Следствие 1.
Вероятности остановки выражаются через интег-
рал
q
(0
,α
)
(
n,β
)
=
1
2
πi
I
0
+
ϕ
αβ
(
u
)
du
u
n
+1
,
(30)
производящая функция
ϕ
αβ
(
u
)
представлена формулой
(18),
где функ-
ции
λ
0
(
u
)
, . . . , λ
k
−
1
(
u
)
заменены функциями
ϕ
0
(
u
)
, . . . , ϕ
k
−
1
(
u
)
.
Замечание 1.
Вследствие совпадения функций
λ
0
(
u
)
, . . . , λ
k
−
1
(
u
)
и
ϕ
0
(
u
)
, . . . , ϕ
k
−
1
(
u
)
для последних справедливы свойства, устано-
вленные в лемме 3. При асимптотическом исследовании распреде-
ления
{
q
(0
,α
)
(
n,β
)
, n
= 0
,
1
, . . . ,
P
∞
n
=0
q
(0
,α
)
(
n,β
)
<
1
}
при
α
→ ∞
или
n
→ ∞
существенной оказывается только функция
ϕ
0
(
u
)
.
Заключение.
Применяемые аналитические методы, основанные
на аппарате производящих функций, позволили найти явный вид (30)
вероятностей достижения и перескока границы для исследуемого слу-
чайного блуждания на целочисленной решетке полуплоскости. Пред-
ставляющие интерес для приложений асимптотические приближения
для найденных вероятностных распределений рассматриваются в сле-
дующей публикации. В некоторых случаях приближение приводит к
стандарному нормальному закону для точки выхода или точки пе-
рескока за границу случайного блуждания — при условии, что оста-
новка случайного блуждания произошла. Интересен случай отличия
асимптотического приближения от нормального закона, приводящий
к устойчивому вероятностному закону.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Спицер Ф.
Принципы случайного блуждания. М.: Мир, 1969. 472 с.
2.
Chen A.
,
Li J.
,
Chen Y.
,
Zhou D.
Extinction probability of interacting branching
collision processes // Adv. Appl. Probab. 2012. Vol. 44. No. 1. P. 226–259.
3.
Fayolle G.
,
Iasnogorodski R.
,
Malyshev V.A.
Random walks in the quarter-plane:
algebraic methods, boundary value problems and applications. Berlin: Springer-
Verlag, 1999. 156 p.
4.
Калинкин А.В.
Вероятность вырождения ветвящегося процесса с взаимодей-
ствием частиц // Теория вероятностей и ее применения. 1982. Т. 27. Вып. 1.
С. 192–197.
50
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 2