2 / 11
Введение.
В теории теплопроводности [1–3] важное практическое
приложение имеет класс задач по исследованию теплового состояния
конструкций, поверхности которых подвержены локальному теплово-
му воздействию [4–8]. Особое внимание уделено задачам, связанным
с изучением процесса теплопереноса в условиях локального периоди-
ческого теплового воздействия. Интерес к таким исследованиям объ-
ясняется практическими приложениями процесса разогрева металлов
при лазерной и электронно-лучевой обработке [9–14].
Физическая постановка задачи и математическая модель про-
цесса.
Рассматривается нестационарный процесс теплопроводности в
цилиндре радиусом
R
и высотой
h
(рис. 1). Разогрев цилиндра осу-
ществляется двумя осесимметричными локальными
(
r
≤
r
0
)
перио-
дическими источниками теплоты, действующими на нижнее
(
z
= 0)
и
верхнее
(
z
=
h
)
основания цилиндра, с плотностями тепловых потоков
q
1
(
r, t
)
и
q
2
(
r, t
)
, равными
q
i
(
r, t
) =
q
0
i
1 + cos
πr
r
0
ˉ
η
(
t
)
, t >
0
,
0
≤
r
≤
r
0
, i
= 1
,
2
,
где значение индекса
i
= 1
соответствует источнику теплоты, действу-
ющему на нижнее основание цилиндра;
i
= 2
— источнику теплоты,
действующему на верхнее основание цилиндра;
r
0
— радиус пятна
теплового воздействия;
ˉ
η
(
t
)
— ступенчатая периодическая функция с
периодом, равным
Δ
t
(рис. 2). На нижнем и верхнем основаниях ци-
линдра, вне области теплового воздействия
(
r
0
< r
≤
R
)
, происходит
теплообмен излучением. Боковая поверхность цилиндра теплоизоли-
рована. В начальный момент времени
t
= 0
температура цилиндра
постоянна и равна температуре внешней среды
T
0
.
В задаче учитывается зависимость теплофизических свойств мате-
риала цилиндра от температуры. Математическая модель рассматрива-
емого нестационарного процесса теплопроводности в цилиндре имеет
Рис. 1. Осевое сечение цилиндри-
ческого тела
Рис. 2. График функции
ˉ
η
(
t
)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
89