7 / 11
Приведем соотношения (20) к стандартному виду бесконечной си-
стемы линейных алгебраических уравнений. Для этого перенумеруем
элементы
δ
mn
a
(
k
)
mn
и
b
(
k
)
ps
двумерных массивов по диагоналям с одинако-
вой суммой индексов, установив соответствия
(
m, n
)
↔
w
,
(
p, s
)
↔
v
по правилам
w
=
1
2
(
m
+
n
+ 1) (
m
+
n
+ 2)
−
n, v
=
1
2
(
p
+
s
+ 1) (
p
+
s
+ 2)
−
s,
и обозначим
ˉ
x
(
k
)
1
=
δ
00
a
(
k
)
00
;
ˉ
x
(
k
)
2
=
δ
01
a
(
k
)
01
,
ˉ
x
(
k
)
3
=
δ
10
a
(
k
)
10
;
ˉ
x
(
k
)
4
=
δ
02
a
(
k
)
02
,
ˉ
x
(
k
)
5
=
δ
11
a
(
k
)
11
,
ˉ
x
(
k
)
6
=
δ
20
a
(
k
)
20
и т.д.
;
f
(
k
)
1
=
b
(
k
)
00
;
f
(
k
)
2
=
b
(
k
)
01
, f
(
k
)
3
=
b
(
k
)
10
;
f
(
k
)
4
=
b
(
k
)
02
, f
(
k
)
5
=
b
(
k
)
11
, f
(
k
)
6
=
b
(
k
)
20
и т.д.
Применяя те же правила, из элементов
A
(
k
)
psmn
составим матри-
цу с элементами
D
(
k
)
vw
. В результате получаем бесконечную систему
линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных
ˉ
x
(
k
)
w
,
w
= 1
,
2
, . . .
:
∞
X
w
=1
D
(
k
)
vw
ˉ
x
(
k
)
w
=
f
(
k
)
v
, v
= 1
,
2
, . . . ,
(21)
для решения которой применяем метод редукции [20, 21].
Следовательно, на временн´ом слое
t
=
t
k
решение краевой задачи
(12)–(16) может быть представлено в аналитической форме в виде
двойного тригонометрического ряда Фурье
T
(
r, z, t
k
)
≈
N
X
m
=0
N
−
m
X
n
=0
δ
mn
a
(
k
)
mn
cos
mπ
R
r
cos
nπ
h
z ,
коэффициенты которого находим из решения конечной системы [21]
M
X
w
=1
D
(
k
)
vw
ˉ
x
(
k
)
w
=
f
(
k
)
v
,
v
= 1
,
2
, . . . M,
порядка
M
= (
N
+ 1) (
N
+ 2)
/
2
.
При этом
N
определяем на основе оценки Рунге [22].
Выбор шага
τ
по временн´ой переменной осуществляется с учетом
результатов, полученных в работе [23].
Результаты численных расчетов.
Применим построенный алго-
ритм для расчета температурного поля цилиндрического тела. Вы-
числения проведем при следующих значениях параметров задачи:
94
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3