5 / 11
На
k
-м шаге итерации функцию
T
(
k
)
(
r, z
)
будем искать в форме
разложения в двойной тригонометрический ряд Фурье [17]
T
(
k
)
(
r, z
) =
∞
X
m
=0
∞
X
n
=0
δ
mn
a
(
k
)
mn
X
mn
(
r, z
)
,
(17)
где
δ
mn
=
δ
m
δ
n
, δ
m
=
0
,
5
, m
= 0
,
1
, m >
0;
X
mn
(
r, z
) = cos (
μ
m
r
) cos (
ω
n
z
) ;
μ
m
=
mπ/R
;
ω
n
=
nπ/h.
Для улучшения сходимости ряда (17) на границах области
z
= 0
и
z
=
h
можно применить метод быстрых разложений [18].
Определим коэффициенты
a
(
k
)
mn
в разложении (17). Для этого умно-
жим обе части уравнения (12) на функцию
X
ps
(
r, z
)
и проинтегрируем
полученное равенство по области
Ω =
{
(
r, z
) : 0
< r < R
,
0
< z < h
}
.
Применяя формулы векторного анализа [19], приходим к соотноше-
нию
−
ZZ
Ω
div
Λ
(
k
)
(
r, z
)
grad
T
(
k
)
(
r, z
)
X
ps
(
r, z
)
d
Ω+
+
ZZ
Ω
Λ
(
k
)
(
r, z
)
grad
T
(
k
)
(
r, z
)
grad
X
ps
(
r, z
)
d
Ω+
+
1
τ
ZZ
Ω
C
(
k
)
(
r, z
)
T
(
k
)
(
r, z
)
X
ps
(
r, z
)
d
Ω =
=
1
τ
ZZ
Ω
C
(
k
)
(
r, z
)
T
(
k
−
1)
(
r, z
)
X
ps
(
r, z
)
d
Ω
.
(18)
Для вычисления первого интеграла в левой части соотношения (18)
воспользуемся формулой Остроградского. Тогда с учетом граничных
условий (13)–(16) получим
(
−
1)
s
+1
R
Z
0
Q
(
k
)
2
(
r
) cos (
μ
p
r
)
dr
−
R
Z
0
Q
(
k
)
1
(
r
) cos (
μ
p
r
)
dr
+
+
R
Z
0
h
Z
0
Λ
(
k
)
(
r, z
)
∂T
(
k
)
∂r
∂X
ps
∂r
+
∂T
(
k
)
∂z
∂X
ps
∂z
dr dz
+
+
1
τ
R
Z
0
h
Z
0
C
(
k
)
(
r, z
)
T
(
k
)
(
r, z
)
X
ps
(
r, z
)
dr dz
=
92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3