3 / 11
вид
ρc
(
T
)
∂T
∂t
=
1
r
∂
∂r
λ
(
T
)
r
∂T
∂r
+
∂
∂z
λ
(
T
)
∂T
∂z
,
t >
0
,
0
≤
r < R,
0
< z < h
;
(1)
T
(
r, z,
0) =
T
0
,
0
≤
r
≤
R,
0
≤
z
≤
h
;
(2)
−
λ
(
T
)
∂T
∂z
z
=0
=
q
1
(
r, t
)
, t >
0
,
0
≤
r
≤
r
0
;
σε
(
T
4
0
−
T
4
(
r,
0
, t
))
, t >
0
, r
0
< r
≤
R
;
(3)
λ
(
T
)
∂T
∂z
z
=
h
=
q
2
(
r, t
)
, t >
0
,
0
≤
r
≤
r
0
;
σε
(
T
4
0
−
T
4
(
r, h, t
))
, t >
0
, r
0
< r
≤
R
;
(4)
∂T
∂r
r
=
R
= 0
, t >
0
,
0
≤
z
≤
h.
(5)
Здесь
T
(
r, z, t
)
— искомое температурное поле цилиндра;
ρ
,
c
и
λ
—
плотность, удельная теплоемкость и коэффициент теплопроводности
материала;
σ
— постоянная Стефана – Больцмана;
ε
— степень черноты
излучающей поверхности.
Отметим, что в рассматриваемой задаче следует учитывать условие
ограниченности температуры на оси цилиндра [15].
Построение алгоритма приближенного решения.
Введем функ-
ции
C
(
T, r
) =
ρrc
(
T
)
,
Λ (
T, r
) =
rλ
(
T
)
и запишем задачу (1)–(5) в
следующем виде:
C
(
T, r
)
∂T
∂t
=
=
div
(Λ (
T, r
)
grad
T
)
, t >
0
,
0
< r < R,
0
< z < h
;
(6)
T
(
r, z,
0) =
T
0
,
0
≤
r
≤
R,
0
≤
z
≤
h
;
(7)
−
Λ (
T, r
)
∂T
∂z
z
=0
=
Q
1
(
r, t
)
, t >
0
,
0
≤
r
≤
R
;
(8)
Λ (
T, r
)
∂T
∂z
z
=
h
=
Q
2
(
r, t
)
, t >
0
,
0
≤
r
≤
R
;
(9)
|
T
(0
, z, t
)
|
<
∞
, t >
0
,
0
≤
z
≤
h
;
(10)
∂T
∂r
r
=
R
= 0
, t >
0
,
0
≤
z
≤
h.
(11)
Здесь
Q
i
(
r, T
) =
(
rq
i
(
r, t
)
, t >
0
,
0
≤
r
≤
r
0
;
σεr
(
T
4
0
−
u
4
i
(
r, t
))
, t >
0
, r
0
< r
≤
R
;
i
= 1
,
2;
u
1
(
r, t
) =
T
(
r,
0
, t
)
, u
2
(
r, t
) =
T
(
r, h, t
)
.
90
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3