4 / 11
Отметим, что при такой форме записи уравнения (6) операции “div”
и “grad” следует понимать как операции в прямоугольной системе
координат
(
r, z
)
.
Приближенное аналитическое решение задачи (6)–(11) найдем,
применив модификацию метода, основанного на дискретизации диф-
ференциального уравнения (6) по временн´ой переменной
t
[14, 16].
Пусть
t
k
=
kτ
,
k
= 1
,
2
, . . .
, где
τ >
0
— достаточно малый шаг
разбиения по временн´ой переменной. Заменим в уравнении (6) произ-
водную по времени разностным отношением
∂T
∂t
t
=
t
k
≈
T
(
k
)
(
r, z
)
−
T
(
k
−
1)
(
r, z
)
τ
,
где
T
(
k
)
(
r, z
)
— приближенное значение функции
T
(
r, z, t
)
в мо-
мент времени
t
=
t
k
, причем согласно начальному условию (7)
T
(0)
(
r, z
) =
T
0
.
На временн´ом слое
t
=
t
k
все нелинейности в уравнении (6) и в
граничных условиях (8), (9) вычислим, используя найденное на пре-
дыдущем временн´ом слое
t
=
t
k
−
1
значение функции
T
(
k
−
1)
(
r, z
)
и
обозначим
C
(
k
)
(
r, z
) =
C T
(
k
−
1)
(
r, z
)
, r ,
Λ
(
k
)
(
r, z
) = Λ
T
(
k
−
1)
(
r, z
)
, r .
Тепловые потоки в граничных условиях (8) и (9) при
t
=
t
k
так-
же определим по известным значениям функций
u
(
k
−
1)
i
(
r
)
:
Q
(
k
)
i
(
r
) =
=
Q
i
r, u
(
k
−
1)
i
(
r
)
,
i
= 1
,
2
.
В результате получаем дифференциально-разностный аналог на-
чально-краевой задачи (6)–(11) в виде следующей итерационной
схемы решения
(
k
= 1
,
2
, . . .
)
краевой задачи для линейного элли-
птического уравнения с переменными коэффициентами
Λ
(
k
)
(
r, z
)
и
C
(
k
)
(
r, z
)
:
−
div
Λ
(
k
)
(
r, z
)
grad
T
(
k
)
(
r, z
) +
1
τ
C
(
k
)
(
r, z
)
T
(
k
)
(
r, z
) =
=
1
τ
C
(
k
)
(
r, z
)
T
(
k
−
1)
(
r, z
)
,
0
< r < R,
0
< z < h
;
(12)
−
Λ
(
k
)
(
r, z
)
∂T
(
k
)
∂z
z
=0
=
Q
(
k
)
1
(
r
)
,
0
≤
r
≤
R
;
(13)
Λ
(
k
)
(
r, z
)
∂T
(
k
)
∂z
z
=
h
=
Q
(
k
)
2
(
r
)
,
0
≤
r
≤
R
;
(14)
T
(
k
)
(0
, z
)
<
∞
,
0
≤
z
≤
h
;
(15)
∂T
(
k
)
∂r
r
=
R
= 0
,
0
≤
z
≤
h.
(16)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
91