3 / 11
Постановка вспомогательной задачи.
В работах [12, 13] постро-
ены оценки компонент тензора теплопроводности композита с изо-
тропными включениями в виде эллипсоидов вращения (удлиненных
эллипсоидов и сфероидов) на основе математической модели тепло-
вого взаимодействия включения с изотропной матрицей, коэффициент
теплопроводности
λ
m
которой задан. При этом использованы извест-
ные геометрические коэффициенты [10, 11]
D
α
=
b
1
b
2
b
3
2
∞
Z
0
du
(
b
2
α
+
u
)
f
(
u
)
, α
= 1
,
2
,
3
,
(1)
где
b
α
— полуоси эллипсоида;
f
(
u
) =
q
(
b
2
1
+
u
)(
b
2
2
+
u
)(
b
2
2
+
u
)
. Полу-
ченные оценки явились частными случаями по отношению к компози-
ту с изотропными включениями в виде произвольных трехосных элли-
псоидов [14]. Для такого композита главные оси тензора эффективной
теплопроводности совпадают по направлению с осями эллипсоида, а
главные значения
λ
∗
α
этого тензора можно представить в виде
e
λ
α
=
λ
∗
α
λ
m
=
1 + ( ˉ
λ
−
1)(
D
α
+ (1
−
D
α
)
C
V
)
1 + ( ˉ
λ
−
1)
D
α
(1
−
C
V
)
,
(2)
где
ˉ
λ
=
λ/λ
m
,
λ
— коэффициент теплопроводности включения.
Для применения метода самосогласования необходимо использо-
вать математическую модель теплового взаимодействия включения с
однородной внешней средой, компоненты тензора эффективной тепло-
проводности которой подлежат определению. В случае анизотропной
внешней среды геометрические коэффициенты (1) будут зависеть не
только от соотношения полуосей эллипсоидального включения, но и
от искомых компонент тензора эффективной теплопроводности этой
среды.
При одинаково ориентированных включениях, имеющих форму эл-
липсоидов вращения, однородная внешняя среда является трансвер-
сально изотропной [12, 13]. Если начало прямоугольной декартовой
системы координат
Oξ
1
ξ
2
ξ
3
совместить с центром отдельно взятого
включения, а ось его вращения направить по координатной оси
Oξ
3
, то
для такой среды тензор эффективной теплопроводности определяется
двумя главными значениями
λ
∗
1
=
λ
∗
2
и
λ
∗
3
. При этом распололожение
ортогональных осей
Oξ
1
и
Oξ
2
может быть произвольным.
Установившееся распределение температуры
T
∗
(
ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
)
в одно-
родной среде, трансверсально изотропной относительно координатной
оси
Oξ
3
, должно удовлетворять дифференциальному уравнению
λ
∗
1
∂
2
T
∗
∂ξ
2
1
+
∂
2
T
∗
∂ξ
2
2
+
λ
∗
3
∂
2
T
∗
∂ξ
2
3
= 0
.
(3)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
101