5 / 11
Для приведенного эллипсоида вращения геометрический коэффи-
циент (1) при
α
= 1
можно представить как
D
0
1
=
ˉ
b
∗
2
∞
Z
0
dv
(1 +
v
)
2
p
ˉ
b
2
∗
+
v
.
(6)
Здесь
ˉ
b
∗
=
b
0
3
/b
1
= (
b
3
/b
1
)
p
λ
∗
1
/λ
∗
3
. Из общего для геометрических
коэффициентов равенства
D
0
1
+
D
0
2
+
D
0
3
= 1
в рассматриваемом случае
при
D
0
1
=
D
0
2
получим
D
0
3
= 1
−
2
D
0
1
.
Пусть на весьма большом расстоянии от центра включения по
сравнению с длиной наибольшей полуоси приведенного эллипсоида
задано невозмущенное температурное поле, имеющее единственную
составляющую градиента вдоль оси
Oξ
1
, равную
G
1
. Тогда в изотроп-
ном приведенном эллипсоиде с коэффициентом теплопроводности
λ
возникнет одномерное температурное поле [11, 14]
T
(
ξ
1
) =
λ
∗
1
G
1
ξ
1
λ
∗
1
+ (
λ
−
λ
∗
1
)
D
0
1
с единственной составляющей градиента вдоль оси
Oξ
1
G
0
1
=
λ
∗
1
G
1
λ
∗
1
+ (
λ
−
λ
∗
1
)
D
0
1
.
Тогда для возмущения температурного поля в эллипсоиде по отно-
шению к невозмущенному температурному полю
T
∗
∞
(
ξ
1
) =
G
1
ξ
1
в
однородной среде единственная составляющая градиента вдоль оси
Oξ
1
будет равна
Δ
G
1
=
G
1
−
G
1
=
G
1
D
0
1
λ
∗
1
−
λ
λ
∗
1
+ (
λ
−
λ
∗
1
)
D
0
1
.
(7)
Форму частиц матрицы композита допускается выбирать произ-
вольной при условии, что характерный размер частиц изменяется от
некоторого конечного до бесконечно малого (это позволяет заполнить
в объеме, занимаемом композитом, все возможные промежутки между
включениями). Примем, что с учетом изменения масштаба по оси
Oξ
3
форма частиц матрицы является шаровой, геометрический коэффици-
ент которой
D
◦
α
= 1
/
3
. Тогда при задании в однородной изотропной
среде невозмущенного температурного поля
T
∗
∞
(
ξ
1
) =
G
1
ξ
1
в шаровой
частице матрицы с коэффициентом теплопроводности
λ
m
возникнет
возмущение температурного поля с единственной составляющей гра-
диента вдоль оси
Oξ
1
, равной
Δ
G
◦
1
=
G
1
λ
∗
1
−
λ
◦
2
λ
∗
1
+
λ
◦
.
(8)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
103