7 / 11
уравнения (9) и (11) можно решить последовательными приближени-
ями. Для этого следует задать ожидаемое значение
ˉ
b
∗
, вычислить из
равенств (6) и (7)
D
0
1
и
D
0
3
и решить уравнения (9) и (11), что позволит
уточнить значение
ˉ
b
∗
и продолжить последовательные приближения.
Однако при количественном анализе полученных соотношений проще
решать уравнения (9) и (11) при серии заданных значений
ˉ
b
∗
, затем
по расчитанным значениям
Λ
1
и
Λ
3
находить соответствующие этой
серии значения
ˉ
b
=
b
3
/b
1
= ˉ
b
∗
p
λ
∗
3
/λ
∗
1
.
Результаты количественного анализа.
Количественный анализ
полученных соотношений проведен в достаточно широком интерва-
ле изменения параметра
ˉ
b
. При
ˉ
b
= 0
,
01
форма эллипсоидального
включения соответствует тонкому круглому диску, а при
ˉ
b
= 100
—
игольчатая.
Зависимости отношений
Λ
1
=
λ
∗
1
/λ
m
(сплошные кривые) и
Λ
3
=
=
λ
∗
3
/λ
m
(штрихпунктирные кривые) от параметра
ˉ
b
=
b
3
/b
1
при объ-
емной концентрации
C
V
= 0
,
5
включений и различных значениях
параметра
ˉ
λ
=
λ/λ
m
в логарифмических координатах представлены
на части
а
рисунка. Для сравнения приведены построенные по фор-
муле (2) зависимости
e
λ
1
и
e
λ
3
(штриховые и пунктирные кривые) от
параметра
ˉ
b
при тех же значениях
C
V
и
ˉ
λ
. Для шарового включения
(
ˉ
b
= 1
)
Λ
1
= Λ
3
и
e
λ
1
=
e
λ
3
, что соответствует изотропному композиту,
причем
Λ
1
>
e
λ
1
для
ˉ
λ >
1
и
Λ
1
<
e
λ
1
для
ˉ
λ <
1
. По мере отклонения
значения
ˉ
b
от единицы разность
|
Λ
1
−
Λ
3
|
возрастает. Это приводит
к увеличению степени анизотропии композита. При этом разность
|
e
λ
1
−
e
λ
3
|
тоже возрастает, но в меньшей степени.
Для дискообразной формы включений
Λ
1
→
1
при всех рассмо-
тренных значениях
ˉ
λ,
т.е. коэффициент теплопроводности
λ
∗
1
компо-
зита в направлениях, перпендикулярных оси вращения эллипсоидаль-
ных включений, приближается к коэффициенту теплопроводности
λ
m
матрицы. И наоборот, для игольчатой формы включений к значению
λ
m
стремится коэффициент теплопроводности
λ
∗
3
композита в напра-
влении их оси вращения. Следует отметить, что во всем интервале
изменения параметра
ˉ
b
каждое значение
Λ
1
и
Λ
3
меняется в большей
степени по сравнению с соответствующим ему значением
e
λ
1
или
e
λ
3
.
Зависимости, приведенные на части
б
рисунка, соответствуют зна-
чению
C
V
= 0
,
2
, а на части
в
рисунка —
C
V
= 0
,
8
. При уменьшении
объемной концентрации включений интервал изменения значений
Λ
1
и
Λ
3
убывает, а при увеличении
C
V
— возрастает. В остальном все
закономерности, выявленные при рассмотрении зависимостей, пред-
ставленных на части
а
рисунка, сохраняют силу.
Заключение.
Приведением к уравнению Лапласа дифференци-
ального уравнения, описывающего распределение температуры в од-
нородной трансверсально изотропной среде, искомые характеристики
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3
105