4 / 11
В изотропном эллипсоидальном включении с полуосями
b
1
=
b
2
и
b
3
установившееся распределение температуры
T
(
ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
)
удовле-
творяет уравнению Лапласа
∂
2
T
∂ξ
2
1
+
∂
2
T
∂ξ
2
2
+
∂
2
T
∂ξ
2
3
= 0
.
(4)
Если изотропный эллипсоид вращения поместить в неограничен-
ную область, заполненную трансверсально изотропной однородной
средой, то указанные распределения температур при заданных усло-
виях на бесконечности должны удовлетворять не только уравнениям
(3) и (4), но и условиям непрерывности температуры и нормальной со-
ставляющей плотности теплового потока во всех точках поверхности
эллипсоида:
T
∗
=
T, n
1
λ
1
∂T
∗
∂ξ
1
−
λ
∂T
∂ξ
1
+
+
n
2
λ
1
∂T
∗
∂ξ
2
−
λ
∂T
∂ξ
2
+
n
3
λ
3
∂T
∗
∂ξ
3
−
λ
∂T
∂ξ
3
= 0
,
где
n
α
— направляющие косинусы вектора нормали к поверхности эл-
липсоида. Решение такой достаточно сложной задачи позволит опре-
делить необходимое для использования метода самосогласования воз-
мущение температурного поля в эллипсоиде. Степень сложности этой
задачи можно оценить по подробному изложению решения в эллипсо-
идальных координатах более простой задачи определения возмущения
поля электрического потенциала в изотропном эллипсоиде из диэлек-
трика, помещенном в неограниченную изотропную среду [10]. Можно
избежать решения задачи в полной постановке и использовать геоме-
трические коэффициенты (1), если преобразовать уравнение (3) к виду,
соответствующему уравнению Лапласа и описывающему установив-
шееся распределение температуры в однородной изотропной среде.
Вывод основных соотношений.
Сначала преобразуем уравнение
(3) к виду
∂
2
T
∗
∂ξ
2
1
+
∂
2
T
∗
∂ξ
2
2
+
∂
2
T
∗
∂ζ
2
= 0
,
(5)
где
ζ
=
ξ
3
p
λ
∗
1
/λ
∗
3
. Уравнение (5) описывает распределение температу-
ры в однородной изотропной среде с коэффициентом теплопроводно-
сти
λ
∗
1
=
λ
∗
2
. Такое преобразование равносильно изменению масштаба
в направлении координатной оси
Oξ
3
в
p
λ
∗
1
/λ
∗
3
раз, что приведет и
к изменению длины полуоси
b
3
эллипсоида вращения, которая теперь
примет значение
b
0
3
=
b
3
p
λ
∗
1
/λ
∗
3
. В работе [8] преобразованный элли-
псоид предложено называть приведенным.
102
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 3