5 / 14
вить в виде
n
X
i
=1
r
i
X
j
=1
(
y
ij
−
_
y
i
)
2
=
n
X
i
=1
r
i
(ˉ
y
i
−
_
y
i
)
2
+
n
X
i
=1
r
i
X
j
=1
(
y
ij
−
ˉ
y
i
)
2
,
где
Q
1
=
n
X
i
=1
r
i
(ˉ
y
i
−
_
y
i
)
2
=
δ
— сумма квадратов отклонений, обу-
словленная неадекватностью модели;
Q
2
=
n
X
i
=1
r
i
X
j
=1
(
y
ij
−
ˉ
y
i
)
2
— сумма
квадратов отклонений отклика, обусловленная погрешностью экспе-
римента.
Если сумма
Q
1
не велика по сравнению с суммой
Q
2
, то расши-
рять пространство
˜
L
за счет, например, увеличения числа членов раз-
ложения
l
в регрессионной модели, нецелесообразно и модель сле-
дует признать адекватной. Эти качественные рассуждения на языке
математической статистики означают проверку гипотезы
H
0
адекват-
ности модели, состоящей в том, что
M
Y
=
Fβ
против альтернативы
H
1
:
M
Y
6
=
Fβ
, где
F
— выбранная матрица независимых переменных,
определяющая вид регрессионной модели.
Можно показать, что независимо от того, истинна гипотеза
H
0
или
нет, величина
Q
2
/σ
2
имеет
χ
2
-распределение с
n
X
i
=1
(
r
i
−
1)
степенями
свободы. Величина
s
2
e
=
Q
2
.
n
X
i
=1
(
r
i
−
1)
совпадает с оценкой и явля-
ется несмещенной оценкой дисперсии воспроизводимости
σ
2
=
σ
2
y
.
Аналогично можно показать, что если гипотеза
H
0
истинна, то ве-
личина
Q
2
/σ
2
имеет
χ
2
-распределение с
n
−
l
0
−
1
степенями свободы,
где
l
0
=
l
+ 1
— число неизвестных параметров регрессионной мо-
дели. При этом величина
s
2
r
=
Q
1
/
(
n
−
l
0
−
1)
представляет собой
несмещенную оценку
σ
2
=
σ
2
y
и называется дисперсией, связанной
с неадекватностью модели. Таким образом, если гипотеза
H
0
— ис-
тинная, то отношение имеет вид
s
2
r
/S
2
e
∼
F
(
ν
1
, ν
2
)
,
ν
1
=
n
−
l
−
1
;
ν
2
=
n
X
i
=1
(
r
i
−
1)
, т.е. имеет
F
-распределение Фишера с
ν
1
и
ν
2
степе-
нями свободы, следовательно, проверка гипотезы
H
0
осуществляется
стандартным способом по критерию Фишера. Если найдено таблич-
ное значения критерия Фишера
F
т
(
ν
1
, ν
2
, α
)
, отвечающее уровню зна-
чимости
α
, то гипотеза
H
0
принимается при
s
2
r
/s
2
e
≤
F
т
(
ν
1
, ν
2
, α
)
и
отклоняется в противном случае. Отклонив гипотезу
H
0
, необходимо
строить более сложную модель, увеличив, например, число базисных
функций, выбрав другой их набор
n
˜
f
k
(
E
)
o
.
Некоторые базисные функции
f
k
(
E
)
могли быть включены оши-
бочно в регрессионную модель, т.е. на самом деле отклик
у
не зависит
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1
7