10 / 16
Оценки диэлектрической проницаемости композита с включениями в виде эллипсоидов вращения
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
49
включений параллельно основаниям цилиндра приведет к идентичной формуле
для двусторонних оценок
r
и
r
эффективного значения
*
r
диэлектрической
проницаемости композита в направлении, перпендикулярном ориентации осей
вращения включений. Это позволяет в соотношении (23) опустить нижний ин-
декс у верхней
( )
и нижней
( )
оценок, поскольку они в равной степени
определяют границы возможного изменения не только значений
*
z
и
*
,
r
но и
значения
*
при хаотической ориентации включений.
Отметим, что первая и вторая формулы (10) для предельно тонких пла-
стинчатых включений могут быть преобразованы к формулам для нижней
( )
и верхней
( )
оценок, а первая формула (11) для предельно длинных воло-
кон — к верхней оценке. Равенство для значения
совпадает с формулой, ко-
торая следует из теории смесей [20], но в отличие от использованного выше
вариационного подхода эта теория не позволяет утверждать, что значение
является верхней оценкой по отношению к истинным значениям диэлектриче-
ской проницаемости.
Верхняя и нижняя оценки в соотношении (23) совпадают при
= 0
V
C
и
=1,
V
C
но при промежуточных значениях
(0;1)
V
C
разность
возраста-
ет по мере отклонения параметра
от единицы. Если в качестве эффективного
значения диэлектрической проницаемости композита выбрать полусумму по-
лученных оценок, то отношение
=(
) /(
)
z
z
z
z
можно рассматривать как
наибольшую возможную относительную погрешность, которая может возник-
нуть при таком выборе. Наибольших значений
=1 1/ (1 ( 1/ 2) / 8)
m
от-
носительная погрешность достигает при
=1/2.
V
C
Сравнение полученных оценок.
Для количественного анализа представлен-
ных выше оценок диэлектрической проницаемости композита с включениями в
виде эллипсоидов вращения выбраны два значения
= 5
и
= 0, 2.
В целях
более рационального использования масштаба рисунков рассчитанные значе-
ния диэлектрической проницаемости нормированы по определяемой соотноше-
нием (23) верхней оценке
.
Поэтому верхней границей возможных нормиро-
ванных значений является единица, а нижней границей — отношение
/ ,
за-
висимость которого от объемной концентрации
V
C
включений совпадает для
выбранных взаимно обратных значений параметра
и показана на представ-
ленном далее рисунке утолщенной штриховой линией.
Результаты расчетов для композита с упорядоченным расположением
включений, когда их оси вращения параллельны, приведены на рис. 2,
а
.
Сплошные линии с различными символами соответствуют значению
= 5,
а
штриховые — значению
= 0, 2.
Для частного случая изотропного композита с
шаровыми включениями зависимости отношения
*
/
от объемной концен-
трации включений
V
C
отмечены светлыми кружками, а для композита с вклю-
чениями в виде предельно длинных волокон зависимости
*
/
r
от объемной
концентрации включений
V
C
— кривые с темными кружками. Для предельно