8 / 16
Оценки диэлектрической проницаемости композита с включениями в виде эллипсоидов вращения
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
47
В случае хаотической ориентации включений при осреднении по объему
композита возмущений векторного поля напряженности в элементах структуры
этого композита существенными будут лишь объемные концентрации включе-
ний (
V
C
) и матрицы (
1
V
C
). В соответствии с методом самосогласова-
ния [14, 19] результат осреднения возмущений следует приравнять нулевому
вектору
,
0
т. е. принять
(1 ) = ,
V
m V
C
C
E
E
0
где угловые скобки обозна-
чают операцию осреднения по объему. Поскольку
,
E 0
последнее равенство с
учетом формул (14) и (16) принимает вид
ˆ
ˆ = (1 ),
V
V
C
C
V W
что равносиль-
но равенству, содержащему вместо осредненных тензоров первые (линейные)
инварианты этих тензоров [13]. В результате, учитывая формулы (15) и (17),
приходим к соотношению
*
*
*
*
*
*
*
(
)(1 ) / 2
(
)
(
)
2
= 3
(1 ),
(
)(1 ) / 2
(
)
2
*
z
z
m
V
V
z
z
m
G
G C
C
G
G
(18)
эквивалентному кубическому уравнению относительно искомого значения
*
.
Двусторонние оценки.
Используем двойственную вариационную форму-
лировку задачи электростатики в неоднородном твердом теле для построения
двусторонних оценок диэлектрической проницаемости композита при упо-
рядоченном расположении эллипсоидальных включений, когда оси вращения
всех включений параллельны. Область
,
V
занятую композитом, выберем в
виде прямого цилиндра высотой
H
и площадью
F
оснований
0
S
и
H
S
[14].
Боковую поверхность
*
S
цилиндра в точках
*
N S
примем электроизолиро-
ванной, на одном из оснований зададим электрический потенциал
= ,
H
U U
а на
другом —
= 0.
U
Сначала рассмотрим вариант расположения включений в обла-
сти
,
V
когда их оси вращения перпендикулярны основаниям цилиндра. При
этом диэлектрическая проницаемость
( )
M
зависит от положения точки
,
M V
т. е. принимает значение
,
если эта точка принадлежит включению,
или значение
,
m
когда она принадлежит матрице.
Истинное распределение
*
( )
U M
электрического потенциала в выбранной
области минимизирует функционал [14]
2
1 [ ]= ( )( ( )) ( ),
2
V
J U M U M dV M
(19)
где
— дифференциальный оператор Гамильтона. Функционал (19) допустимо
рассматривать на распределениях
( ),
U M
,
M V
удовлетворяющих на основа-
ниях цилиндра заданным выше граничным условиям и непрерывных в замкну-
той области
= ,
V V S
а в открытой области
V
— имеющих кусочно непре-
рывные производные. Альтернативным по отношению к функционалу (19) яв-
ляется максимизируемый функционал [12]
2
1 ( ( ))
[ ]=
( )
( ) ( ) ( ),
2 ( )
H
V
S H
M
I
dV M U N N dS N
M
D D
D n
(20)