11 / 16
В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.Ю. Савельева
50
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
длинных волокон
*
/
1,
z
для предельно тонких пластинчатых включений
*
/
1,
r
а зависимости
*
/
z
в случае пластинчатых включений совпадают с
утолщенной штриховой линией.
Включениям в виде удлиненных эллипсоидов вращения с параметром = 5
b
соответствует значение = 0,0558,
z
D
для которого зависимости отношения
*
/
z
от объемной концентрации включений
V
C
отмечены светлыми ромба-
ми, а зависимости отношения
*
/
r
от объемной концентрации включений
V
C
— темными ромбами. Для сфероидального включения с параметром
= 0,2
b
имеем
= 0,7505,
z
D
а те же зависимости отмечены светлыми и темными квадра-
тами. Рассмотренные зависимости не выходят за пределы границ, определяемые
по соотношению (23) для двусторонних оценок, которые установлены с исполь-
зованием двойственной вариационной формулировки задачи электростатики.
Согласно более детальным расчетам, при изменении объемной концентра-
ции включений
V
C
в интервале (0; 1) для <1
b
справедлива цепочка нера-
венств
*
*
*
< < ,
z
r
для
>1
b
и
<1
— обратная цепочка неравенств
*
*
*
> > ,
z
r
а в случае >1
b
и
>1
*
*
< ,
z
r
но с возрастанием объемной кон-
центрации включений
V
C
значения
*
выходят за пределы интервала
* *
( ; ).
z r
Результаты расчетов для изотропного композита с хаотически ориентиро-
ванными включениями при значениях
= 5
и
= 0, 2,
для которых область
возможных значений диэлектрической проницаемости композита, отнесенных
(как и на рис. 2,
а
) к верхней оценке, имеет прежнюю общую границу в виде
утолщенной штриховой линии, представлены на рис. 2,
б
. Светлыми кружками
отмечены зависимости отношения
*
/
от объемной концентрации включе-
ний
V
C
для композита с шаровыми включениями, построенные с использова-
нием формул (8) и (9) (сплошная и штриховая линии при
= 5
и
= 0, 2
) и по-
лученные методом самосогласования с применением равенства (18) (штрих-
пунктирная и пунктирная линии при
= 5
и
= 0, 2
с симметричными ветвями
относительно абсциссы
=0, 5
V
C
). Указанные типы линий использованы и для
предельных вариантов включений в виде тонких круглых пластинок (линии с
темными квадратами) и длинных волокон (линии с темными ромбами), также
построенные по формулам (12) и (13).
Штриховая линия с кружками при
= 0, 2,
построенная для шаровых вклю-
чений, является верхней границей области, в которой расположены обе штрихо-
вые линии с ромбами и квадратами, соответствующие предельным вариантам
формы включений). Сплошная линия с кружками для шаровых включений при
= 5
ограничивает снизу область, в которой находятся кривые для этих форм
включений. Для предельно тонкого пластинчатого включения сплошная и штри-
ховая линии, отмеченные темными квадратами, совпадают для взаимно обратных
значений параметра
.
Штрихпунктирная и пунктирная линии со светлыми
кружками для значений
= 5
и
= 0, 2
ограничивают сверху области располо-
жения кривых, относящихся к обоим предельным вариантам формы включений.