7 / 16
В.С. Зарубин, Г.Н. Кувыркин, И.Ю. Савельева
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
фективным значением
*
диэлектрической проницаемости этого композита.
Последующее приравнивание нулю этих возмущений, осредненных по объему
композита, позволяет получить расчетные зависимости для вычисления эффек-
тивного значения
*
.
Eсли в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью
*
задано внешнее невозмущенное электростатическое поле
=
z
z
U E z
с един-
ственной составляющей
z
E
вектора напряженности, параллельного оси
Oz
принятой выше цилиндрической системы координат, то согласно второй фор-
муле (1) возмущение электростатического поля во включении будет равно
*
*
*
(
)
( ) = ( )
=
.
(
)
z
z
z
z
z
E z
G
U z U z U
G
Когда вектор напряженности внешнего невозмущенного поля направлен по од-
ному из радиальных направлений и имеет составляющую
,
r
E
для возмущения
электростатического поля во включении получим
*
*
*
(
)(1 ) / 2
=
.
(
)(1 ) / 2
r
z
r
z
E r
G
U
G
Из этих формул следует, что возмущение
E
векторного поля напряженности
во включении будет однородно и коллинеарно вектору
E
напряженности
внешнего невозмущенного поля с заданными составляющими
z
E
и
.
r
E
Это
возмущение можно представить в тензорной форме (точка между сомножите-
лями обозначает операцию свертки по повторяющемуся индексу в этих сомно-
жителях):
ˆ= ,
E V E
(14)
где
ˆ
V
— диагональный тензор второго ранга. Компоненты этого тензора в
прямоугольной декартовой системе координат
1 2 3
,
Ox x x
ось
3
Ox
которой сов-
падает с осью
Oz
принятой выше цилиндрической системы координат, равны
*
*
11 22
33
*
*
*
*
(
)(1 ) / 2
(
)
= =
,
=
.
(
)(1 ) / 2
(
)
z
z
z
z
G
G
V V
V
G
G
(15)
Матрицу композита представим совокупностью шаровых частиц, радиус
которых изменяется от некоторого конечного до бесконечно малого значения,
что позволяет заполнить все пустоты между эллипсоидальными включениями.
Учитывая, что для шаровой частицы
= =1/3,
z
r
G G
для возмущения в ней век-
торного поля напряженности получаем
ˆ= ,
m
E W E
(16)
где
ˆ
W
— изотропный тензор второго ранга с компонентами
*
11
22
33
*
= = =
.
2
m
m
W W W
(17)