3 / 9
О.С. Еркович, П.А. Ивлиев
58
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
Таким образом, выражение для полной энергии электронного газа в нанотрубке
как функционала плотности электронов имеет вид
2
5
2
3
3
2
3
3
3
3
3 (3 ) ( )
) ( )
10
( ) ( )
(
[ ]
)
( )
(
1
1 1 (
)
;
2
72
n r d r
r n r d r
n r n r d r
n r d
E n
v
r
r r
n r
2
5
2
3
3
3
3
3 2
3
[ ]
(
1
3 (3 ) ( , )
) ( , )
10
( , ) ( , )
( ,
1
)
(
1 (
)
2
, )
;
72
n r
d r
r n r d r
n r n r d r
n r
d r
r r
n r
E n
v
2
5
2
3
3
3
3
3 2
3
[ ]
(
1
3 (3 ) ( , )
) ( , )
10
( , ) ( , )
( ,
1
)
(
1 (
)
2
, )
.
72
n r
d r
r n r d r
n r n r d r
n r
d r
r r
n r
E n
v
Метод Кона — Шэма предполагает минимизацию функционала
.
E n
С учетом
условия нормировки
3
n r d r N
(
N
—
число частиц в системе) условие экс-
тремума функционала
E n
может быть записано в виде
[ ]
,
E n
n
где
—
неопределенный множитель Лагранжа, имеющий смысл химического потенци-
ала и равный нулю в силу условия нормировки. Вариационная производная
[ ]
( )
E n
n r
может быть определена как [9]
[ ,
]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ;
( )
( )
( )
( )
( )
n r
n r
n r
n
g n n
E n T n
V n W
r
n
n
r
2
3
3
2
2
[ ] 1 (3 )
2
( ) .
( )
n r
n
n
r
T
Учитывая осевую симметрию задачи, используем цилиндрическую систему ко-
ординат
, , .
n r n r z
Трансляционная симметрия системы позволяет
предположить, что зависимость электронной плотности от координаты
z
от-
сутствует
,
:
n r n r
2
2
[ ,
] 1 1
1 1
(
)
72
3
( , )
( , ).
( , )
( , )
( , )
6
n r
n r
n
n
n
r
g
r
r
n
n
Сумма вариаций функционалов
[ ] [ ]
V n W n
должна удовлетворять уравнению
Пуассона [9]