4 / 9
Расчет магнитных свойств однослойных углеродных нанотрубок…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 4
59
2
( ).
( )
[ ]
[ ] 24
( )
V n W n
n r
n
r
r
r
n
(1)
Условию минимума функционала
(
[ 0
)
]
n r
E n
с учетом (1) соответствует уравне-
ние
2
2
2
2 2
2
1
1
( , )
( , )
( , )
( , ).
3
n r
n r
n r
n r
r
r r
r
r
(2)
Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными
,
.
n r
R r
Дифференциальное уравнение для радиальной компонен-
ты представляет собой модифицированное уравнение Куммера [10], решение
которого имеет вид [11]
2
2 3
2
2
2
2
1
( )
6, 51 1 2 3
6, 51 1 2 3
6, 51,1, 2 3
6, 51 1 2 3
6, 51 1, 2 3 ,
r
R r
e
U , ,
r M , ,
M
M , ,
r U ,
где
,1,
,
,1,
U a x M a x
— линейно независимые функции Куммера [10]. Как
было показано в работе [11], в центре сечения нанотрубки электронная плот-
ность достигает наибольшего значения, а по мере приближения к стенкам ци-
линдра, плотность электронов уменьшается. Функция
R r
при увеличении
радиуса УНТ согласно результатам численного расчета имеет с учетом условий
нормировки сходное поведение, не зависящее от ее радиуса.
Дифференциальное уравнение для углового распределения электронной
плотности имеет вид
2
2
1 .
d
k
d
k
(3)
Вещественное решение уравнения (3) удобно искать в виде
0
2
1
sin
.
A k
k
Условие нормировки можно записать как
2
2
0
1.
d
Очевидно, что од-
новременное выполнение условий нормировки и периодичности приводит к
значению
1.
k
Таким образом, нормированное на единицу решение уравнения
(3) имеет вид
0
1 sin
1,
3